数值分析.南京电大 36讲 szfx06.doc

三、高斯—赛德尔迭代(G-S迭代) 在雅可比迭代过程中,在计算解向量的第i个分量时,前面的i-1个分量的新值已经计算出来,从而在计算时,前面的分量用新值,后面的分量还没有计算出来,利用旧值来计算可以节约存储,加快速度。这便构成了G-S迭代的迭代公式: 对 用矩阵表示G-S迭代: 转化为,,,于是我们得到: . 则G-S迭代的矩阵形式为,其中为G-S迭代的迭代矩阵, 。 例3. 利用G-S迭代求解例2. 解: G-S迭代公式为: 取初始向量, 用5位有效数字进行计算,经过6次迭代,基本达到精确解(雅可比迭代用了11次迭代, G-S迭代比雅可比迭代快了一倍)。一般地,如果两种方法均收敛,则G-S迭代的收敛速度比雅可比迭代大约要快一倍。 四、超松驰迭代(SOR迭代) 在G-S迭代中,计算时的公式为: ,在超松弛迭代中,我们将旧值和新值作一个加权平均作为新值: ,其中,称为松弛因子。称低松弛,称超松弛。可以证明超松弛迭代收敛的必要条件是。SOR迭代的迭代公式为:当时,就是G-S迭代。 以上三种迭代在计算时,须选择一个相当小的数,也就是解题的精度要求,当时,迭代结束,即相邻两次迭代结果的所有分量差的绝对值均小于时,迭代结束。 例4. 用SOR迭代法解方程组 (取) 解:SOR迭代的迭代公式为: 取,经8次迭代后得:,,,。 五、迭代法的收敛性 迭代收敛的充要条件 定理4:迭代公式对于任意初始向量均收敛的充要条件是,其中是迭代矩阵B的n个特征值(),表示的模。  例5方程组Ax=b的系数矩阵:。 试证明解上述方程组的Jacobi迭代发散,而G-S迭代收敛。 证明:对于矩阵A,Jacobi迭代的迭代矩阵为 ,计算得:,其特征方程为 , 得:,。由于,Jacobi迭代不收敛。而G-S迭代的迭代矩阵为,计算得: ,其特征方程为 , 解得:,,。 由于,G-S迭代收敛。 迭代收敛的充分条件 定理5:迭代公式的迭代矩阵为,若或,则该迭代公式对一切初始向量均收敛。 例6.讨论方程Ax=b的迭代收敛性, 其中。 解:(1)对于Jacobi迭代,迭代矩阵为 各行绝对值和:第1行为0.3,第 2行为0.3,第3行为0.4。故Jacobi迭代收敛。 (2)对于G-S迭代, , 故迭代矩阵为 G的各行绝对值和均小于1,故G-S迭代也收敛。 3.迭代收敛的其它充分条件 定理6:对于方程组Ax=b, (1).若A是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和G-S迭代均收敛。 (2).若A是对称正定矩阵,则G-S迭代均收敛。 在前面的例5中, 其一阶主子式 ,二阶主子式,三阶主子式, 故A是正定矩阵且对称,因而G-S迭代收敛;但A不是严格对角占优矩阵,因而不能保证Jacobi迭代收敛。 作业 P32 练习10.2(A)1,3,5,6 (B)1,2,3,4,7,8 P32 练习10.3(A)1,2,3 (B)1,2,5,6 P32 习题10:4,5,6,7,8,10