数值分析.南京电大 36讲 szfx15.doc

二、Cotes系数的性质 引理:n阶Newton—Cotes公式的代数精确度至少是n。 证明:如果是一个次数不超过n次的多项式，则，其拉格朗日插值公式的插值余项为： 故，这是对一切x均相等，精确成立。所以， 即，数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故n阶Newton—Cotes公式的代数精确度至少是n。 结论： 当n为奇数时，n阶Newton—Cotes公式  的代数精确度为n； 当n为偶数时，n阶Newton—Cotes公式 的代数精确度是n+1。  性质1: 归一公式： 证明：由于数值积分公式的代数精确度至少为n，故对于，数值积分公式是精确成立的： ， 而，由上述两式相等，得到： 从课本P 102 的系数表中，我们也可以看出表中每行的和等于1。 性质2: 对称性：。 证明：从柯特斯系数公式中作变量代换，令t=n-3，则dt=-ds 当t=0时，s=n；当t=n时, s=0；，在对j求积的中，j从0到n，且，令，则在对i求积的中，i从0到n，且。求中共有n个因子，每个因子有个负号，dt中有个负号，积分上下限交换时要用个负号。则式中，因和的奇偶性相同，有。 在课本P 102的柯特斯系数表中： (1). n表示n阶N—C 公式的系数,（共有n+1个）。 (2).从表中可以看到各行和等于1,且各系数与积分区 间无关。 (3).当n≥8时，柯特斯系数出现负数，这意味着，这就会产生数值不稳定性，因此高阶N—C公式的效果并不理想，尽管其代数精确度也更高。  三、常用的Newton—Cotes公式 1. 梯形公式 n，，则数值积分公式为：  其几何意义是曲边梯形的面积近似地用梯形面积来代替。 2. 抛物线公式（辛浦生公式） n=2时，积分节点为x0=a，，x2=b；柯特斯系数为；则数值积分公式为:其几何意义是曲边梯形的面积近似地用由抛物线形成的曲边梯形面积来代替。  3. 柯特斯公式 n=4时，积分节点为，，；柯特斯系数为，；则数值积分公式为： 四、复化公式 随着n的增加可以减少积分误差，但高阶N—C公式又会造成数值不稳定，因而采用复化公式。 1.复化梯形公式 将区间等分n等份,,分点是xk=x0+kh,(k=0,1,...,n),其中,在每个子区间上用梯形公式则 此公式就是复化梯形公式。 其几何意义是曲边梯形面积近似地用许多小的细条梯形来代替（如图） 从图中可以看出，n越大，则h越小，实际面积与近似面积的差，即求积误差也就越小。这与分段插值相类似，所不同的是分段插值函数是不光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不光滑的问题。 2. 复化辛浦生公式 将区间[a,b]等分n等份，n为偶数（n=2n），，分点是,，简记，则在每两个子区间()上用辛浦生公式:,则此公式就是复化辛浦生公式。 当然也有复化柯特斯公式，n=4m，在每个宽度为△h的小区间上运用柯特斯公式。  第五周 作业 P87 练习 11.4(A)1,3,4 (B)1,2,3 P94习题 11.11 P99 练习 12.1(A)1,2 (B)1,2 Y X f(a) f(b) f(x) 2 6 X Y + - a (a+b)/2 b f(x) X Y x0 x1 x3 x4 xn-1 xn h h h h f0 f1 f2 f3 fn-1 fn