数值分析.南京电大 36讲 szfx23.doc

说明: (1)要求,不能放松为; (2)一个方程变形为有许多形式可以变换,有的可能不收敛,有的可能收敛,且的越小,收敛的越快。 例如:解方程。 如构造,,, 在有限区间为(2,3),; 如取,则 是发散数列。 如取,则 如构造, ,是收敛的。 取, 精度已达小数点第四位。精度已达小数点第五位,收敛速度很快,因很小,故收敛很快。 如将变形为: 在有根区间内,因而也是不收敛的。 取, 是不收敛的。 三、加速收敛（Aitken方法） 设是的某个预测值,适用一次迭代得到校正值,用微分中值定理,如果变化不大,记其近似值为则: ,解得: 利用上式总认为上式比更接近于。 ,在的基础上再调整一个量,使其更接近,称此为改进值,如每步均如此计算,则得公式校正值:; 改进值:。 其中是的值实际计算比较困难,因而可以通过两次校正来回避掉求的困难,,是第一次校正,是第二次校正,由中值定理: 两式相除约去得:,从而解得: 得到改进公式如下: 第一次校正值: 第二次校正值: 改进值: 此方法称为艾特肯法(Aitken)。 这样每一次迭代可以省计算一次的值。 例2:用快速迭代法来解方程。 取初始值,对 见书上表格,计算到已达到, 取， 3、牛顿法 牛顿法的构造 在求解方程时,设可导,且在附近,则在附近一次泰勒展式 如果是的解,则代入上式解得: 将左边作的一次近似,, 反复运用以上公式,得到迭代公式: 得数列,如收敛,则。 二.几何意义: 是曲线,其一次泰勒展开式, 是过曲线上的切线， 而满足,即是该切线与x轴的交点。而是曲线与x轴的交点，因而每次近似均是过的切线与x轴的交点来近似逼近。 三.牛顿法计算步骤： 选取初值 对于 计算和 判断 如果是转出循环 如果不是继续循环 输出 四.数值例子: 例1:用牛顿法解方程,精确到0.01。 解:, ,,, 选取初值 此时迭代结束。 结果基本相同 用两分法求解方程达到0.00065的精度需要10次达到要求。 用一般迭代法构造 七次迭代可达到以上精度,而牛顿迭代只需三次。 6 x y