第四章四元数正态分布.PDFVIP

中山人学博十论文:四元数止态分布的统计分析理论 第四章 四元数正态分布 本章第一节介绍了文[24]的四元数多元正态分布的定义，它从研究四 元数的随机向量的方差矩阵入手，给出了在特殊情况下的四元数正态随机变 量作了进一步研究.第二节通过通过仔细的构思，先给出一个由四个相互独 立的实随机变量为分量的标准四元数正态分布，然后通过线性便换得到一般 的四元数正态分布的定义。这个定义更具有一般性。第三节为文[[24]中的结 果，研究了四元数多元正态分布的u，E的极大似然估计及性质。论文第 四节研究了四元数正态分布下样本均值的分布 (即定理 4.4.1)及样本方差 的分布 (即性质 4.4.2)，给出了四元数卡方分布、t分布、F分布的定义 极其分布密度函数，研究了他们的性质。 第一节 文]24]对四元数多元正态分布的定义 为简单起见，我们考虑的随机变量为具有零均值，非奇异方差矩阵。 定义4.1.1如果一个m一维的四元数向量。Z.-I-乙+Z;i+乙j+Zk 的实分向量是m一维的实随机向量，则称它为四元数随机向量。 定义4.1.2四元数随机向量，Z..、的协方差矩阵定义为E{Z.Z)，即: }mx}。一cov(Z,Z)=E(Z·Z) 一E[(Z,+Z,·3+Z,J+Zk·k)·(z。一Z,。i-Zlj-4 ·k)] -(III+122+艺33+144)+(一E.:+1.2!一734+143)·i +(一Z13+艺24+131一142)·j+(一114+141一123+132)·k 此处E=cov(Z,,Z,),t,s=r,i,j,k. 文[[25]对特殊情况下的四元数随机变量作了进一步研究: 当Z:二E1，一122一133二艺44为实对称， 毛2一11一112一12，一 134=E4:，反对称矩阵 毛，一艺J=一E13一13，一124一 142，反对称矩阵 第四章 四元数止态分布 =Ek二一艺14二E4一E2:二一E32为反对称矩阵时 芝mxm 4(Z +Yji+Z;J+Ekk)一4,}，。毛是Hermitian正定矩阵 记: j+Z,·k gZ.xI-Z,+Z;’i-fZj· Y r V 上 . Y, 称 斌 Y ， 耳 代 玖 拼 么 一Y, Y, 耳 =YYIIY3,Y4记为:Y4mx4 乙 瓦 r . ﹄ 卜 ‘ 云 龙 r f ‘ 又 耳 及，S-, 毛 乙 引理4.1.1在上述情况下，对四元数随机向量。Zmxl-Z，十z·i+ Zi·j+Zk·k的方差矩阵Emxm来说，有1/4cov(Z,Z)-cov(Y,，Y,)， s=1,2,3,4. 证明:D(Y,)=cov(Y, Y[,.,-Y,,-Y,，;YJ 禹 禹 一艺14 玩 乙 E24 从 乙 Y-34 玩 玩 144 云 甄 乙 么 及 耳 式 乙 D(YZ)=D(Y,)=D(Y4)=毛 28