正态分布的样本生成.DOC

蒙特卡罗 期权定价 维克多 Podlozhnyuk vpodlozhnyuk@ 马克·哈里斯 mharris@ 文件更改记录 版本 日期 责任 变更原因 1.0 20/03/2007 vpodlozhnyuk 首次发布 1.1 21/11/2007 mharris 重写新的优化和精度的探讨 2.0 01/04/2008 vpodlozhnyuk 更新生成样本和精度讨论 摘要 期权定价自1973年组织的期权交易出现时已经成为金融工程界一个非常重要的问题，随着越来越多的计算被应用于金融相关的问题，寻找期权定价的有效实施在现代建筑的模型已变得更为重要。本白皮书介绍了蒙特卡罗方法中CUDA在期权定价中的实现。有关完整实施细节，请参见NVIDIA CUDA SDK中“蒙特卡罗”的例子。 NVIDIA公司 2701圣托马斯高速公路 圣塔克拉拉大学95050 引言 期权是最常见的定义是卖方和买方期权双方达成协议，从而期权的买方被授予的权利（但不是义务），由期权卖方担保，在未来的某一时刻进行一些操作（或行使期权）。 [1] 选项有几个品种：一个看涨期权赋予其持有人在未来的某一时刻以一个固定的预定价格购买一些合适的标的资产（股票，房产，或任何其他具有良好的内在价值）。预定价格被称为执行价格，未来日期被称为到期日。同样，看跌期权赋予其持有人的对到期日行权价卖出标的资产。 对于看涨期权，到期日的利润，假设当天销售取得交易是在到期日和资产的执行价格之间的差额减去期权价格。对于看跌期权，到期日的利润是执行价格和到期日资产的价格之间的差额，减去期权价格。 资产在到期时的价格与行权价，极大地影响人会愿意支付多少期权价格。 其它的因素是： 到期日的时间，T：较长的周期意味着的关于标的资产到期日更大范围的可能值，因此有更多的期权价值的不确定性。 无风险回报利率，R，即年利率债券或其他的“无风险”的投资：如果放在今天，任何数量美元P被保证是值得的P·eRT美元。换句话说，如果一个资产从现在的价值P块钱T年，今天这是值得P?e-RT美元,在评估帐户时必须采取期权的今天价值。 计算限制：到目前为止，经过讨论，只有所谓的欧式期权，可以在到期日计算。但具有不同计算方式的期权也存在限制。例如，美国期权的计算更加灵活，因为他们可能是随时计算直至截止日期，它们的售价通常至少高与相应的欧式期权。 金融中的蒙特卡罗方法 标的资产的价格St服从几何布朗运动和浮动率μ和波动率V服从随机微分方程：dSt=μStdt+vStdWt，其中，Wt是维纳随机过程：X=WT-WO~N(0，T)(N(μ,σ2) 是正态分布，μ是平均值和σ是标准差） 该方程的解是： dSt=μStdt+vStdWt =μdt+vdWt?ST=S0eμT+v（WT-W0） 使用维纳过程的定义，我们可以简化为： ST=SoeμT+Vn(0,T)=S0eμT+vN(0,1) (1) 预计未来值是： E(ST)=S0eμT·E(eN(0,v2T))= S0eμT·e0.5v2T= S0e(μ+0.5v2)T 根据定义, E(ST)=S0erTμ=r-0.5v2，所以ST=Soe(r-0.5v2)T+VTN(0,1). 这是可能的最终股票价格取决于随机样本N（0，1），可以认为是“描述” 股价究竟怎样移动。衍生产品期末的可能价格来源于标的资产的可能价格。例如，一个看涨期权的价格是Vcall(S,T)=max(ST-X,0). 如果在行权日股票价格高于行权价，期权使其持有者获利ST-X元，否则为0。同样，看跌期权的价格是Vput(S,T)=max(X - ST,0). 如果在行权日行权价大于市场的股票价格，期权使其持有者获利X-ST，否则为0。 一种方法来估计数学Vcall(S,T)和Vput(S,T)的期望是蒙特卡罗数值积分：生成所需的数据样本的N服从N（0，1）的分布：对应于基础的维纳过程，然后结束周期可能的平均股票收益Vi(S,T)，对应于各样本值： Vmean(S,T)= (2) 这是蒙特卡罗方法的期权定价的核心。 通过贴现因子贴现未来的大致价格e-rT我们得到了当今公平衍生价格的近似值： Vfair(S,0)= Vmean(S,T) e-rT在我们所选择的实例，欧式期权定价，封闭形式的表达式为 E(Vcall(S,T))和E(Vmean(S,T)) 被称为黑色的斯科尔斯公式[ 2，3 ]。我们使用这些封闭形式的解决方案来计算的参考数值对我们的蒙特卡洛积分结果进行比较。然而，蒙特卡洛方法经常应用于更复杂的问题，如美式期权定价，为此闭合形式表达式是未知。 伪随机和准随机序列 计算的第一阶段是正态分布N（0，1）数字序列，这可以