正态分布小史及其他.DOC

正态分布小史及其他 正态分布最早是由棣莫弗在1733 年的一篇文章中引入的，当时是作为二项分布当试验次数增加时的近似分布。我们现在借助高尔顿发明的钉板可以直观地观测到怎样从二项分布到正态分布. 高尔顿钉板上方是多排交错成三角状的钉子, 当小球(如豌豆) 从上方往下落时, 在每一排碰到钉子后有两种可能的结果: 向左或向右拐后继续往下落, 直至落入下方的容器中. 小球落入各容器的可能性可以用二项分布来刻画. 当许多小球从上往下落时, 各容器中的小球的多少(累积高度) 便反映了二项分布取值的比例. 随着倾入的球的增加, 我们可以发现容器中小球呈中间多, 两端少的“钟形”, 或说近似于正态曲线. 在此后的几十年间, 棣莫弗的工作并没有受到人们的关注. 直至1778 年拉普拉斯才重新发现了正态分布. 拉普拉斯推广了棣莫弗的结果, 证明了当每一个小的误差与总的误差相比可以忽略不计时, 不管小的误差的分布是什么, 总的误差将近似服从正态分布. 这一著名的结果说明了为什么现实中如此众多的随机现象可以用正态分布来描述其规律. 例如, 自动火炮命中目标的误差一般认为是服从正态分布的, 这个误差是风速、射击的方向和角度、重量、弹药的质量等许许多多的小因素共同影响的结果. 其中每一种小因素, 人们都努力去控制以至于都不能起主要作用; 但这些微小的误差数量之多, 使得其总和仍起作用, 最终造成了命中目标的误差. 正态分布的一个最早的应用是用来分析天文观测中的误差. 在17、18 世纪, 由于不完善的仪器以及观测人员的缺乏经验等原因, 天文观察误差是一个重要的问题, 有许多重要的科学家都进行过研究. 1809 年, 高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777～1855, 德国) 指出正态分布可以很好地“拟合” 误差分布. 基于误差分布服从正态分布的假设, 高斯奠定了他此前使用过的最小二乘法的数学基础.为纪念他的贡献, 正态分布也称为高斯分布. 19 世纪, 比利时统计学家魁特奈特访问了巴黎, 了解到正态分布后, 倡导并身体力行将正态分布用于数据的分析. 由于他的这一努力, 正态分布在19 世纪的统计应用中大为流行. X～N（μ,σ2）表示X 服从参数为μ和σ2的正态分布。下面分别是几个正态分布的图： 正态曲线象一个大钟，它有以下性质： （1）曲线在x轴上方，即f (x)0。 （2）以X=μ为对称轴，也就是P{ Xμ} = P{Xμ}=1/2，μ为X的数学期望（均值），也是分布的中位数和众数。P{-σ X-μσ}≈0.6826, P{-2σ X-μ2σ}≈0.9545, P{-3σ X-μ3σ}≈0.9973. 这表明X落在区间[μ-3σ,μ+3σ]内的概率达到0.9973。