利用《几何画板》进行正态曲线的教学.DOCVIP

利用《几何画板》进行正态曲线的教学 210008 江苏省南京外国语学校 李 平 龙 正态分布是一种重要而又常见的概率分布。一方面，它是自然界中最常见的一种分布，例如测量的误差分布；炮弹落点的分布；人的生理特征身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度……等等都近似服从正态分布。一般地，若影响某一数量的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布可以用正态分布来近似地描述，还有一些分布可以通过正态分布来导出。 全日制普通高级中学教科书（试验修订本）选修Ⅰ已将正态分布列入选学内容，如何引导学生进行探究性学习便是每一位数学教育工作者密切关注的课题，本文便是这方面的尝试。 一 复习引入 前面利用样本分布直方图，作出了对总体概率分布的估计，给出了“总体密度曲线”的含义：当离散型总体（随机变量）的样本容量无限增多、组距无限变小时，样本频率分布直方图便无限趋近于一条曲线——总体（概率）密度曲线；由于直方图是用小矩形的面积估计总体中的个体落在相应组区间内的概率的，因此总体密度曲线中相应的曲边图形的面积便是总体在相应区间内取值的概率。 今天我们将学习一种特殊而又常用的总体密度曲线——正态分布的密度函数。 二 定义 把总体密度曲线就是或近似地是函数的图象的分布称为正态分布；实数—总体的平均数，—总体的标准差，它们均为参数；正态总体是有无限容量的抽象总体，它是由参数、所惟一确定；正态分布常记为，且的图象称为正态曲线。特别地，当时的正态总体，称为标准正态总体，这时相应的函数表达式是，相应的曲线称为标准正态曲线。 三 数学实验 将函数的图象用《几何画板》软件做成小课件。一方面，考虑到几何画板中两个坐标轴上的单位长度是相等的，而密度曲线所在的坐标系并无此要求，因此在课件制作时，我将密度函数的值扩大了3倍，相当于纵轴上的单位长度是横轴上单位长度的3位，这样曲线更美观；另一方面，画板采用的是近似计算，因此正态曲线密度函数中的常数均可依次取其近似值为2.5，1.414。这样便产生了如图1所示的正态曲线，只要拖动点U、S就可分别改变参数、值，进而函数的图象随之改变；若启用动画，则可清晰地看到图象的形成过程。 如图1 四 数学发现 让学生反复操作并观察课件，要求他们归纳正态曲线的形状，并思考与感悟它的图象与x轴的关系及参数对曲线形状的影响，由此可得出最具本质特征的三类图象，并感悟出它的渐近线为x=0，如下表所示。 图象 定义域 渐近线 x=0 奇偶性 为偶函数，时为非奇非偶函数 对称性 关于直线对称并在对称轴上取得最大值 最值 存在最大值，但不存在最小值 值域 单调性 在区间上递增；在区间上递减 作用 越小，曲线越向左；越大，曲线越向右（反映平均水平） 作用 越小，曲线越矮胖；越大，曲线越瘦高（反映集中程度） 五 数学证明 由曲线的形状不难观察出曲线的性质（见上表），并能引导学生完成演绎证明。下仅证直线y=0是正态曲线的渐近线。 设P（x，y）是曲线上的任一点，因为曲线关于直线对称，所以不妨设。点P到直线y=0的距离为。 当x逐渐增大时，d逐渐减小，x无限增大时，d无限接近于零。这就是说，正态曲线在第一象限内无限接近于直线y=0，故直线y=0是正态曲线的渐近线。 六 概率意义 1 由总体密度函数的意义知，正态总体取值位于区间内的概率就是正态曲线中位于直线x=x0的左侧的阴影部分的面积，记作F（x0）；而位于区间（x1，x2）内的概率则是正态曲线夹在直线x=x1与x=x2之间的阴影部分的面积，即P（x1x2）=F（x2）-F（x1）。特别地，若为标准正态总体N（0，1），则将概率记作。 2利用标准正态分布表可查出时的的值，如等。那么时，如何求呢？ 一方面由标准正态曲线的对称性知：；另一方面由对立事件的概率之和为1知：，从而。如此便可由标准正态分布表求出标准正态总体在任一范围内取值的概率。 3 而对于任一正态总体来说，取值小于x的概率，有，最终将正态分布的概率问题转化为标准正态分布的概率。 如对于正态总体N（1，4），有 七 数学应用 当我们知道某个总体服从正态分布时，只要通过样本的平均数、标准差去估计总体的平均数、标准差，便可用关于正态分布的概率计算去推测总体在任一范围内取值的概率，达到立足当前把握未来之目的。 当一定时，正态曲线的形状与有关，越大，曲线越 ；正