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写书评，赢取 《编程之美--微软技术面试心得》/BCZM.asp 1 的数目 给定一个十进制正整数 N ，写下从1 开始，到 N 的所有整数， 然后数一下其中出现的所有“1”的个数。 例如： N= 2 ，写下1 ，2。这样只出现了 1 个“ 1”。 N= 12 ，我们会写下1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样，1 的个数是 5。 问题是： 1. 写一个函数f （N ），返回1到N 之间出现的“1”的个数,比如f （12 ） =5。 2. 在32位整数范围内，满足条件“f （N ）= N”的最大的N 是多少？ 写书评，赢取 《编程之美--微软技术面试心得》/BCZM.asp 分析与解法 【问题 1 的解法一】 这个问题看上去并不是一个困难的问题，因为不需要太多的 思考，我想大家都能找到一个最简单的方法来计算 f （N ），那就 是从 1 开始遍历到 N ，将其中每一个数中含有“1”的个数加起来， 自然就得到了从 1 到 N 所有“1”的个数的和。写成程序如下： 代码清单 2-9 ULONGLONG Count1InAInteger(ULONGLONG n) { ULONGLONG iNum = 0; while(n != 0) { iNum += (n % 10 == 1) ? 1 : 0; n /= 10; } return iNum; } ULONGLONG f(ULONGLONG n) { ULONGLONG iCount = 0; for (ULONGLONG i = 1; i = n; i++) { iCount += Count1InAInteger(i); } 写书评，赢取 《编程之美--微软技术面试心得》/BCZM.asp return iCount; } 这个方法很简单，只要学过一点编程知识的人都能想到，实 现也很简单，容易理解。但是这个算法的致命问题是效率，它的 时间复杂度是 O （N ）×计算一个整数数字里面“1”的个数的复杂度 = O （N * log2 N ） 如果给定的 N 比较大，则需要很长的运算时间才能得到计算 结果。比如在笔者的机器上，如果给定 N=100 000 000 ，则算出f （N ）大概需要40 秒的时间，计算时间会随着 N 的增大而线性增 长。 看起来要计算从 1 到 N 的数字中所有 1 的和，至少也得遍历 1 到 N 之间所有的数字才能得到。那么能不能找到快一点的方法 来解决这个问题呢？要提高效率，必须摈弃这种遍历 1 到 N 所有 数字来计算f （N ）的方法，而应采用另外的思路来解决这个问题。 【问题1 的解法二】 仔细分析这个问题，给定了 N ，似乎就可以通过分析“小于N 的数在每一位上可能出现 1 的次数”之和来得到这个结果。让我们 来分析一下对于一个特定的 N ，如何得到一个规律来分析在每一 位上所有出现 1 的可能性，并求和得到最后的f （N ）。 先从一些简单的情况开始观察，看看能不能总结出什么规律。 写书评，赢取 《编程之美--微软技术面试心得》/BCZM.asp 先看 1 位数的情况。 如果 N = 3 ，那么从1 到 3 的所有数字：1、2、3 ，只有个位 数字上可能出现 1 ，而且只出现1 次，进一步可以发现如果 N 是 个位数，如果 N=1 ，那么f （N ）都等于1 ，如果N=0 ，则f （N ） 为 0。 再看 2 位数的情况。 如果 N=13 ，那么从1 到 13 的所有数字：1、2、3、4、5、6、 7、8、9、10、11、12、13 ，个位和十位的数字上都可能有1 ，我 们可以将它们分开来考虑，个位出现 1 的次数有两次：1 和 11 ， 十位出现 1 的次