7 85常系数非齐次线性微分方程.PPTVIP

微分方程 第八节 一、 型 三、小结 * * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程 一、 二、 ［二阶常系数线性非齐次微分方程］ 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解 齐次方程通解 【求特解的方法】 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 ［f(x)常见类型］ ［对应齐次方程］ ［通解结构］ 【难点】如何求特解？ ? 为实数 , 设特解为 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 ? 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若? 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 即 即 当? 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 【例1】 的一个特解. 【解】本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 【注意】 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）. 【例2】 的通解. 【解】本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 【例3】求解初值问题 【解】本题 特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 于是所求解为 解得 二、 第二步 求出如下两个方程的特解 ［分析思路］ 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 ③ 的特解 . ② ③ 设 则 ② 有 特解: 第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 第四步 分析 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 小 结: 对非齐次方程 则可设特解: 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 【例4】 的一个特解 . 【解】本题 特征方程 故设特解为 不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 辅助方程法 作辅助方程 代入辅助方程 【解Ⅱ】 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取实部） 【解】 对应齐方通解 作辅助方程 代入上式 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取虚部） 【例5】 【例6】 【解】(1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: (待定系数法) ? 为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. (λ可以是复数) 只含上式一项的解法：——辅助方程法 作辅助方程,化为情形（1），求特解, 取特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. * *