34函数单调性凹凸性与极值利用导数研究函数ppt课件.pptVIP

第四节 一、 函数单调性的判定法 例1. 确定函数 说明: 例2. 证明 * 证明 二、函数的极值及其求法 注意: 定理 2 (极值第一判别法) 例3. 求函数 定理3 (极值第二判别法) 例4. 求函数 三、最大值与最小值问题 特别: 例5. 求函数 例6. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 说明：在经济学中 四、曲线的凹凸与拐点 定理4.(凹凸判定法) 例7. 判断曲线 例8. 求曲线 例9. 求曲线 作 业 内容小结 内容小结 4. 连续函数的最值 2. 设 * 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数单调性的判定法 四、曲线的凹凸性与拐点 函数的单调性、凹凸性与极值 利用导数研究函数 第三章 二、函数的极值及其求法 三、最大值与最小值问题 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 时, 不等式 证: 令 从而 因此 且 证 证明 令 则 从而 即 定义1: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大值点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小值点 , 称 为函数的极小值 . 极大值点与极小值点统称为极值点 . 为极大值点 为极小值点 不是极值点 对常见函数, 函数极值的可能点集合为： ｛驻点，不可导点｝ 1) 函数的极值是函数的局部性质. 例如 , 为极大值点, 是极大值 是极小值 为极小值点, 函数 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , (自证) 点击图中任意处动画播放\暂停 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求极值可疑点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大值点， 其极大值为 是极小值点， 其极小值为 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 证: (1) 存在 由第一判别法知 (2) 类似可证 . 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 最小值 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点 是否为最大 值点或最小值点 . (小) 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5. 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 售出该产品 x 千件的收入是 解: 售出 x 千件产品的利润为 问是否 故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. 称为边际成本 称为边际收入 称为边际利润 由此例分析过程可见, 在给出最大 利润的生产水平上 即边际收入＝边际成本 （见右图） 成本函数 收入函数 即 收益最大 亏损最大 定义2 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 拐点 (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 的拐点. 解: 不存