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无穷级数 第七节 三、函数展开成傅里叶级数 例3. 例5.将函数 四、周期为2l的函数的傅里叶级数展开 傅里叶 (1768 – 1830) 要点: 周期为 2l 函数 f (x) 伸缩 将 作傅氏展开, 然后换元 f (x) 的傅氏展开式 周期为 2? 函数 定理：设周期为2l 的周期函数f (x) 满足收敛定理的条件,则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) 证明： 解： 法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅 里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题 傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 第七节 傅里叶级数 1.周期为2?的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中 注：泰勒级数是局部逼近，而傅里叶级数是全局逼近。 为间断点, 则级数收敛于 若 2. 周期为2?的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数 正弦级数 偶函数 余弦级数 3. 在[ 0 , ? ]上函数的傅里叶级数展开 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数 4. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开式 其中 * 一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第十一章 傅里叶级数 周期函数的展开式 周期函数反映客观世界中的周期性现象， 正弦函数是最简单的周期函数之一。 ( A为振幅, ?为角频率, φ为初相 ) 如心脏的跳动（心电图）、波浪、单摆的振动。 一、三角级数 问题：给定一个周期函数，能否展开为简单的周期函数（如正弦函数）的和？ 物理意义：将一个一般的周期运动分解为不同频率的简谐振动的叠加。 谐波分析 三角级数 问题: 二、三角函数系的正交性 三角函数系： 利用三角函数系的正交性. 问题: 收敛定理（狄利克雷(Dirichlet)充分条件） 矩形脉冲的波形 先求傅里叶系数 所给函数满足收敛定理的条件， 解： （连续点） （间断点）， 注：泰勒级数是局部逼近，而傅里叶级数是全局逼近。 所给函数满足收敛定理的条件. 三角波 解： 所求函数的傅里叶级数展开式为 注意以上两个例子的结果，容易证明 上的表达式为 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 设 f (x) 是周期为 2? 的周期函数 , 它在 当 级数收敛于 解： 选择题： 解： 将 f (x)延拓成以2?为周期的函数 F(x) , 由例2结果可得， 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 周期延拓 F (x) f (x)在(0, ?]上展成正弦级数 周期延拓 F (x) 奇延拓 偶延拓 f (x)在[0,?]上展成余弦级数 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 分别展成正弦级 数与余弦级数 . 解: 根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数: 级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见右图. n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 再求余弦级数. 将 作偶周期延拓 , 由例2结果可得，