应用偏微分方程教学大纲.DOC

《应用偏微分方程》教学大纲 课程名称 应用偏微分方程 (Partial Differential Equations and Their Applications） 学时与学分 学时：48 学分：3 (卓越工程师班 学时：40 学分：2.5) 授课对象 光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业 先修课程 微积分、线性代数、复变函数与积分变换 教学目的 《应用偏微分方程》课程是应用数学的重要基础，大量偏微分方程模型源于现实生活。比如，量子力学理论依赖于薛定谔方程，流体力学理论依赖于各种形式的Navier-Stokes方程，以及电磁场理论依赖于麦克思韦方程等等。本课程各个部分形成独立的模块，重点讨论偏微分方程中四种最基本的方程：传输方程、波动方程、热传导方程和位势方程的特点和相应定解问题的求解方法，特别对偏微分方程模型在物理、力学等学科中的应用问题给予了极大的关注，目的在于将偏微分方程的基本理论与其在实际问题中的应用之间架设一座桥梁，帮助学习者了解近代物理学等学科中一些重要的偏微分方程的来龙去脉，从而掌握运用这些偏微分方程解决实际问题的基本方法。 主要内容、基本要求及学时分配 本课程系统地介绍四种典型方程定解问题的解法及其在光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业中的应用。内容包括弦传输方程的特征线法、振动方程与定解条件、热传导方程与定解条件、拉普拉斯方程与定解条件、分离变量法、行波法与积分变换、格林函数法、贝塞尔函数及其应用、勒让德函数及其应用等。 主要内容 第一章 绪论（5学时） 1.1典型方程和定解条件的物理背景和数学描述（2学时） 1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程 1.1.2 能量守恒与热传导方程 1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程 1.1.4 质量守恒与连续性方程 1.2 偏微分方程的基本概念（2学时） 1.2.1 基本概念 1.2.2 二阶线性偏微分方程的分类 1.2.3 线性方程的叠加原理 1.3 定解问题的适定性（1学时） 第二章 传输方程（4学时） 2.1 一阶线性方程的特征线法（3学时） 2.1.1 一阶线性常系数偏微分方程 2.1.2 种群分析与存货量分析 2.1.3 一阶线性变系数偏微分方程 2.1.4 对气体流的应用 2.1.5 一阶线性方程解的参数形式 2.1.6 三维一阶线性偏微分方程 2.2 传输方程（1学时） 第三章 波动方程（12学时） 3.1 一维初值问题（4学时） 3.1.1 无界弦自由振动问题的行波法 3.1.2 无界弦自由振动问题的傅里叶变换法 3.1.3 依赖区间,决定区域和影响区域 3.1.4 无界弦的强迫振动问题 3.2 高维初值问题 （2学时） 3.2.1 三维波动方程的球面平均法 3.2.2 惠更斯原理 3.2.3 二维波动方程的降维法与泊松公式 3.2.4 波的弥散 3.3 初边值问题（6学时） 3.3.1 有界弦自由振动问题的分离变量法 3.3.2有界弦自由振动问题的积分变换法 3.3.3 有界弦强迫振动问题的特征函数展开法 3.3.4 具有非齐次边界条件的定解问题 3.3.5 圆形薄膜对称振动问题 3.4 波动方程定解问题探究（自学） 3.4.1 波动方程定解问题的齐次化原理 3.4.2 半无界弦的振动问题 3.4.3 矩形区域上波动方程的初边值问题 3.4.4 圆形薄膜振动问题 3.4.5 高频传输线中的电压波动问题 3.4.6 非齐次边界条件的齐次化 第四章 热传导方程（8学时） 4.1 一维初值问题（2学时） 4.1.1 无限长杆上初值问题的傅里叶变换法 4.1.2 半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法 4.2 一维初边值问题（4学时） 4.2.1 无热源有限长杆上初边值问题的分离变量法 4.2.2 有热源有限长杆上初边值问题的特征函数展开法 4.2.3 具有非齐次边界条件的热传导问题 4.3 高维初边值问题（2学时） 4.3.1 圆盘上轴对称热传导问题 4.3.2 无限长圆柱上对称热传导问题 4.4 热传导方程定解问题探究（自学） 4.4.1 热传导方程定解问题的齐次化原理 4.4.2 球上径向对称热传导方程初边值问题 4.4.3 有限长圆柱上轴对称热传导问题 第五章 拉普拉斯方程（8学时+4学时） 5.1 二维拉普拉斯方程的边值问题（4学时） 5.1.1 矩形域上拉普拉斯方程的分离变量法 5.1.2 圆域上拉普拉斯方程的分离变量法