应力状态及应力张量.pdfVIP

一 一点的应力状态与应力张量 二 主应力与应力不变量 对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如 P 点处应力状态在直角 坐标系可表示为 ⎡σ τ τ ⎤ ⎢ x xy xz ⎥ S=σ = τ σ τ ij ⎢ yx y yz ⎥ ⎢τ τ σ ⎥ ⎣ zx zy z ⎦ 如图1-1 所示。在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知， 新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张 量。式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。因为它具有 = ， = ， = 。 τ τ τ τ τ τ xz zx xy yx yz zy 已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。在 P 点处取 出一无限小四面体oabc (图1-2) 它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。另一方面即任意斜面，它的法线N，其方向余弦为 l,m,n。分别以 、 、 、 代表abc 、obc 、oac、 oab 三角形面积。 dF dF dF dF x y z dF =ldF ⎫ x ⎪ dF =mdF⎬ （1.2） y ⎪ dF =ndF z ⎭ 在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面 abc 上有合应力P ,它可分解为正应力 N 及切向剪应力 ，即 2 2 2 σ τ P =σ +τ N N N N N P 沿坐标轴方向分量为x , y ，z ，由平衡条件可得 N N N N x =σ l+τ m+τ n⎫ N x xy xz ⎪ y =τ l+σ m+τ n⎬ N yx y yz ⎪ z =τ l+τ m+σ n N zx zy z ⎭ 求出x ，y ，z 在法线上的投影之和，即得正应力σ N N N N 2 2 2 1-5 σ = x l+ y m+ z n=σ l +σ m +σ n +2τ lm+2τ mn+2τ nl N N N N x y z xy yz zx 2 2 2 而剪应力则由式1-5 得 = - τ P σ N N N 在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。在垂直主方向的面上， ， 即为主应力，等于合应力 ，而主应力在坐标轴上的分量为 τ = 0 σ P N N N x =σ l ⎫ N N ⎪ y =σ m 1-7 N N ⎬