第六章 二元随机变量.ppt

例３.设有３０个电子器件，它们的使用寿命 服从λ＝0.1的指数分布．其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，第二个损坏第三个立即使用等等．令Ｔ为３０个器件使用的总计时间，求Ｔ超过３５０小时的概率． 从而要求的概率为 * 例5．某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被 盗索赔户占20%，现随机抽查100个索赔户，求被盗索 赔户不高于30户的概率． 解：设被盗索赔户为Ｘ，显然Ｘ～Ｂ(100,0.2) 从而要求的概率为 * (1)求二维离散型随机变量的联合分布,并利用联合分布求事件的概率 (2)求二维连续型随机变量的联合密度函数中的待定系数并利用联合密度函数求事件的概率 (3)由二维随机变量的联合分布求边缘分布，判断随机变量的独立性. (4)求两个随机变量的简单函数的概率分布 (5)求协方差,相关系数 (6)利用中心极限定理,求事件的概率 〖方法归纳〗本单元的典型题大致有下列几种 * 二.离散型随机变量的条件概率分布与独立性 条件分布具有一元随机变量分布列的性质 １.条件分布 联合分布唯一决定条件分布 ２．离散型随机变量的独立性． * 例.已知X服从参数p=0.6的０－１分布，在Ｘ＝０及 X＝１下，关于Ｙ的条件分布分别如下 求二元随机变量（Ｘ，Ｙ）的联合分布，以及在Ｙ≠１时关于Ｘ的条件分布． 解： * 例1.若(X,Y)的分布为 则，α，β应满足的条件是＿＿＿．若Ｘ与Ｙ相互独立，则α＝＿＿＿，β＝＿＿＿． 若Ｘ与Ｙ相互独立，则 * 例２.设两个独立的随机 变量Ｘ与Ｙ的分布列为 求随机变量Ｘ与Ｙ的联合 分布． 例3.设两随机变量Ｘ与Ｙ的联合分布为 已知随机事件｛Ｘ＝０｝与 ｛Ｘ＋Ｙ＝１｝相互独立， 则＿＿＿ * 三.连续型随机变量的条件密度函数与独立性 １．条件密度函数：设（Ｘ，Ｙ）的密度函数为 ２．连续型随机变量的独立性． * * * 例5.一人到办公室时间分布在8~12点,其秘书为7~9 点,两人到达时间相互独立,求他们到办公室时间差 不超过5分钟的概率. 解:设X,Y分别为二者到达时间，则 因为两人到达时间相互独立，则（Ｘ，Ｙ）密度为 * §3.3二维随机变量函数的分布 已知(X,Y)的联合分布 一.离散型随机变量函数的分布 Z=g(X,Y),则 也可用表格表示 (X,Y) Ｐ Z=g(X,Y) * 例１.书Ｐ８９例３.１２; (X,Y) Ｐ X+Y XY (0,-1) (0,0) (0,2) (1,-1) (1,0) (1,2) (2,-1) (2,0) (2,2) * 例3.设两个独立的随机变量Ｘ与Ｙ的分布列为 求随机变量Ｚ＝Ｘ＋Ｙ的分布列． * 二.连续型随机变量函数的分布 * 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例1 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . 解: 由卷积公式 也即 * 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示: 也即 于是 * 解 例2 设随机变量X与Y相互独立? 且两者都在区间[0? 1]上均匀分布? 试求Z?X?Y的概率密度? 由卷积公式? 对任意实数z? 有 * 解 例3 设X~N(1? 2)? Y~N(3? 4)? 且X与Y相互独立? 设Z?X?Y? 求Z的概率密度函数? 由卷积公式? 对任意实数z? 有 即知Z~N(4? 6)? * 解 例4 设X1? X2? ???? Xn相互独立? 且均在区间[0? ?]上均匀分布? Y?max(X1? X2? ???? Xn)? Z?min(X1? X2? ???? Xn)? 求Y? Z的概率密度fY(y)及fZ(z)? X1? X2? ???? Xn具有相同的概率密度f(x)? 及相同的分布函数F(z)? ?n[F(y)]n?1?f(y) fY(y)?fmax(y) 于是 fZ(z)?fmin(z) ?n[1?F(z)]n?1f(x) * 解 例5 设二维随机变量(X? Y)具有概率密度 设Z?XY? 试求Z的数学期望? * X的函数Y=g(X) X的函数Y=g(X) X的密度函数f(x) X的分布为 数学期望 X为连续型随机变量 X为离散型随机变量 三.随机向量的函数的数学期望 X的函数Z=g(X,Y) X的函数Z=g(X,Y) X的函数Z=g(X,Y)=XY X的函数Z=g(X,Y)= XY * §3.4随机向量数字特征 一．协方差 １．定义：设(X，Y)是二维随机变量，若E[(X－EX)(Y－EY)] 存在，则称它是X和Y的协方差，记作Cov(X，Y)，即