空间向量在立体几何中应用-立体几何.ppt

学案7 空间向量在立体几何 中的应用;返回目录 ;返回目录 ; (2)已知直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,l与α的夹角为α，则sinα= . (3)已知二面角α—l—β的两个面α和β的法向量分别为v,u,则v,u与该二面角 . 5.空间的距离 (1)一个点到它在一个平面内 的距离，叫做点到这个平面的距离. (2)已知直线l平行平面α，则l上任一点到α的距离都 ，且叫做l到α的距离. ; (3)和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的 .两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的 叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离. (4)若平面α的一个 为m，P是α外一 点，A是α内任一点，则点P到α的距离d= .;返回目录 ;返回目录 ;返回目录 ;＊对应演练＊;（1）以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴建立坐标系如图，设正方体的棱长为1. 则DA=(1,0,0),DE=(1,1, ), C1M=(1,-1,- ). 设平面ADE的法向量为m=(a,b,c),则 m·DA=0 a=0 m·DE=0 a+b+ c=0. 令c=2，得m=(0,-1,2). ∵m·C1M=(0,-1,2)·(1,-1,- ) =0+1-1=0,∴C1M⊥m. 又C1M平面ADE,∴C1M∥平面ADE.;(2)D1A1=(1,0,0),D1F=(0, ,-1), 设平面A1D1F的法向量为n=(x,y,z),则 n·D1A1=0 x=0 n·D1F=0 y-z=0. 令y=2，则n=(0,2,1). ∵m·n=(0,-1,2)·(0,2,1)=0-2+2=0, ∴m⊥n. ∴平面ADE⊥平面A1D1F.;返回目录 ;返回目录 ;返回目录 ; 【评析】（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系. （2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系.;返回目录 ;（1）证明：以D为原点，DC,DA,DP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设PD=1,AB=a，则C(a,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E（ ,0,0）,B(a,1,0),F（ , , ）. ∴EF=（0, , ）,AB=(a,0,0),PA=(0,1,-1). ∴EF·AB=0,EF·PA=0. ∴ EF⊥AB EF⊥PA;返回目录 ;返回目录 ;返回目录 ;(2)设平面A1BM的法向量为n=(x,y,z). ∵A1B=(0,2a,-a),BM=（-2a,0, ）, ∴由n⊥A1B,n⊥BM， 2ay-az=0, x= , -2ax+ =0. y= . ∴令z=a,则n=（ , ,a）. 而平面A1B1C1D1的法向量为n=(0,0,1)，设二面角为θ，则 cosθ= 又∵二面角为锐二面角, ∴cosθ= 从而tanθ= . 即二面角B—A1N—B1的正切值为 .;返回目录 ;返回目录 ;（1）如图，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）， B（ ，0，0），C（0，2，0），A1（0，0， ）， C1（0，1， ）， ∵BD：DC=1：2，∴BD= BC, ∴D点坐标为（ ， ，0）. ∴AD=（ ， ，0）， BC=（- ，2，0），AA1=(0,0, ), ∵BC·AA1=0，BC·AD=0，∴