一元二次方程的几何解法.pdfVIP

解 法 探 微 百 4 7 一元二次方程 的几何解 法 3 10023 杭 州外 国语学校 潘 俊 我们熟知一元二次方程 的代数解法 ，笔者 ，B C = B D : D C . 尝试着从几何角度给出一元二次方程 的另一种 引理 2 直线 AM上AB ，直线 BN I AB ，且 解法 ，即几何模型解法. AB= 1，分别在直线 AM ,BN ( 将 AM ,BN 看成 对于一元二次方程 ，我 国及其他 国家的古 是两条平行的数轴 ，A , B 分别为原点) 上取 P ,Q 代数学家都研究过几何解法，以x + 2x - 35二 两点(P ,Q 不同于点A ,B) ，使得xp= l ,XQ= , 0 为例，三国时期的数学家赵爽( 公元 3- 4 世 在 P Q 上取点R ，使得Z ARB= 900(假设R 点存 纪) 在其所著 的 《勾股 圆方 图注》中记载 的方法 在) ，延长AR 交直线BN 于S 点，设 x 、二n ，则 ， 是 :构造如图所示 的图形 ，图中大正方形 的面积 可以看作是一元二次方程Z 扩- x 十 = 。的 是((x + x 十2) ，另一方面 ，它又等于四个矩形 的 一个根. 面积加上中间小正方形 的面积，即4 X 35-1- 22, 证 明:情形 1 尸，Q 两点分别都在两个原 据此可得 x = 5. 公元 9 世纪 ，阿拉伯数学家阿 点A , B 右侧 ，见下图. 尔 ·花拉子米采用 的方法是 : 构造如 图所示 的 A p M 图形 ，一方面正方形 的面积为( x -}- 1) 2 ，另一方 面 ，它又等于 35十1，据此 同样可得 x - 5, b 卜卜 l 卜 . es 十 es B Q -S N l J 于 一一 由引 理 1AR : R S = A 牙 ，B S ，易 得 l 扛 l 针 | 一 1 A AP R cf )A SQR 则有 AP : QS= AR ，R S , ee卜 所 以有 AP : QS = A牙 ，B 夕 ，在情形 1 中 J AP = x p = l ,BQ= x Q二 ,BS= x s = n. 旧 · 、 而 QS= BS - BQ= n - 代人得 l ，( n - [ 1〕中也利用多种思路给出了线段 的几何 ) = 1 ，n2 即有 n l =