动态规划例1 求解下列整数规划的最优解.docVIP

例1 求解下列整数规划的最优解： 解 （1）建立动态规划模型： 阶段变量：将给每一个变量赋值看成一个阶段，划分为3个阶段，且阶段变量k=1,2,3. 设状态变量表示从第阶段到第3阶段约束右端最大值，则 设决策变量表示第阶段赋给变量的值. 状态转移方程： 阶段指标： 基本方程； 其中 用逆序法求解： 当时， 而表示不超过的最大整数。因此，当时，；当时，可取0或1；当时，可取0，1，2，由此确定现将有关数据列入表4.1中 表4.1中. 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 6 12 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 12 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 当时，有 而。所以当时，；当时，；当时。由此确定。现将有关数据列入表4.2中. 表4.2 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0+0 0+0 0+0 0+0 0+0 0+6 0+6 0+6 0+6 0+6 0+12 5+0 5+0 5+0 5+0 5+0 5+6 5+6 10+0 10+0 10+0 0 0 0 0 5 6 6 6 10 11 12 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 2 3 0 5 6 7 0 5 10 当时,有 而故只能取0,1,2,3,由此确定。现将有关数据列入表4.3中。 表 4.3 0 1 2 3 10 0+12 4+6 8+5 12+0 13 2 4 按计算顺序反推，由表4.3可知,当及 例5 用动态规划方法解下列非线性规划问题 解： 解决这一类静态规划问题，需要人为地赋予时间概念，从而将该问题转化为多阶段决策过程。 按问题的变量个数划分阶段，把它看作一个三阶段决策问题，k=1，2，3 设状态变量为s1，s2，s3，s4并记s1≤c 取问题中的变量x1，x2，x3为决策变量 状态转移方程为： s3=x3 s3+x2=s2 s2+x1=s1≤c 允许决策集合为： x3=s3 0≤x2≤s2 0≤x1≤s1 各阶段指标函数为：v1（x1）=x1 v2（x2）=x22 v3（x3）=x3，各指标函数以乘积方式结合，最优指标函数fk（sk）表示从第k阶段初始状态sk出发到第3阶段所得到的最大值，则动态规划基本方程为： 用逆序解法由后向前依次求解： k=3时， x3*=s3 k=2时， 令h2（s2，x2）=x22（s2－x2） 用经典解析法求极值点： 解得： x2=0（舍） 所以是极大值点。 k=1时， 令 解得： x1=s1（舍） 所以是极大值点。 由于s1未知，所以对s1再求极值， 显然s1=c时，f1（s1）取得最大值 反向追踪得各阶段最优决策及最优值： s1=c 所以最优解为： 例6 用动态规划方法解下列非线性规划问题 解： 按变量个数将原问题分为三个阶段，阶段变量k=1，2，3； 选择xk为决策变量； 状态变量sk表示第k阶段至第3阶段决策变量之和； 取小区间长度Δ=1，小区间数目m=6/1=6，状态变量sk的取值点为： 状态转移方程：sk+1=sk－xk； 允许决策集合：Dk（sk）=｛xk|0≤xk≤sk｝ k=1，2，3 xk，sk均在分割点上取值； 阶段指标函数分别为：g1（x1）=x12 g2（x2）=x2 g3（x3）=x33，最优指标函数fk（sk）表示从第k阶段状态s k=3时， s3及x3取值点较多，计算结果以表格形式给出，见表6.1-6.3所示。 表6.1 计算结果 f f x3 s3 x3 f3(s3) x3* 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 8 27 64 125 216 0 1 8 27 64 125 216 0 1 2 3 4 5 6 表6.2 计算结果 f f x2 s2 x2 f3(s2－x f2(s2) x2* 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 1×0 1×1 1×8 1×27 1×64 1×125 2×0 2×1 2×8 2×27 2×64 3×0 3×1 3×8 3×27 4×0 4×1 4×8 5×0 5×1 6×0 0 0 1 8 27 64 128 0 0,1 1 1 1 1 2 表6.3 计算结果 f f x1 s1 x12 f2(s1－ f1(s1) x1* 0 1 2 3 4 5 6 6 0 1×64 4×27 9×8 16×1 25×0 36×