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电子科技大学研究生试卷（考试时间：至，共__2_小时）课程名称图论及其应用教师学时50 学分教学方式讲授考核日期_2008__年___月____日成绩考核方式：（学生填写）一．填空题(每题2分，共20分)1．若n阶单图G的最大度是，则其补图的最小度=__；2．若图，，则它们的联图的顶点数=_;边数=；3．G是一个完全部图，是第i部的的顶点数i=1，2,3,…,。则它的边数为；4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为_12_; 5. 若,则G的谱6. 5个顶点的不同构的树的棵数为__4___;7. 5阶度极大非哈密尔顿图族是;8. G为具有二分类(X,Y)的偶图，则G包含饱和X的每个顶点的匹配的充分必要条件是，对所有成立9.3阶以上的极大平面图每个面的次数为3;3阶以上的极大外平面图的每个内部面的次数为__3__;10. n方体的点色数为___2___;边色数为___n___。二．单项选择(每题3分，共12分)1．下面给出的序列中，不是某图的度序列的是( B )(A) (33323); (B) (12222); (C) (5533); (D) (1333).2．设V(G)=，则图的补图是（ B ）3.下列图中，既是欧拉图又是哈密尔顿图的是( B )4.下列说法中不正确的是( C )(A)每个连通图至少包含一棵生成；(B)k正则偶图(k0)一定存在完美匹配；(C)平面图,其中表示G的对偶图；(D)完全图可一因子分解。三、 (10分)设图G的阶为14，边数为27，G中每个顶点的度只可能为3，4或5，且G有6个度为4的顶点。问G中有多少度为3的顶点？多少度为5的顶点？解：设有x度为3的顶点，易得,解得 x=5，所以……四、(10)证明：每棵非平凡树至少有两片树叶(10分)证明：反证法，每棵非平凡树至多有一片树叶若最长路(u,v)的起点或终点的度大于1。而树是无圈的，进而可知(u,v)可以延长，因此(u,v)不是该树的最长路。与已知矛盾。所以非平凡树的最长路的起点和终点均是1度的。 五．(10分)今有a,b,c,d,e,f,g七个人围圆桌开会，已知：a会讲英语，b会讲英语和汉语，c会讲英语、意大利语和俄语，d会讲日语和汉语，e会讲德语和意大利语，f会讲法语、日语和俄语，g会讲法语与德语。给出一种排座方法，使每个人能够和他身边的人交流（用图论方法求解）。解：建立图论模型，A, B, C, D, E，F，G分别代表英语、意大利语、俄语、日语、汉语、德语、法语7种语言。得模型图如下：a b c d e f gA B C D E F G转换为求图的Hamilton路，易得H路：bAaAcBeFgGfDdEb故安排bacegfd使每个人能够和他身边的人交流。六．(10分)设是赋权完全偶图G=(V,E)的可行顶点标号，若标号对应的相等子图含完美匹配,则是G的最优匹配。七.(10分) 求证：在n阶简单平面图G中有，这里是G的面数。证明：参考教材P144习题3对于n个点m条边的简单连通图m3n – 6，由推知，八、(10分)来自亚特兰大，波士顿，芝加哥，丹佛，路易维尔，迈阿密，以及纳什维尔的7支垒球队受邀请参加比赛，其中每支队都被安排与一些其它队比赛(安排如下所示)。每支队同一天最多进行一场比赛。建立一个具有最少天数的比赛时间表。亚特兰大：波士顿，芝加哥，迈阿密，纳什维尔波士顿：亚特兰大，芝加哥，纳什维尔芝加哥：亚特兰大，波士顿，丹佛，路易维尔丹佛：芝加哥，路易维尔，迈阿密，纳什维尔路易维尔：芝加哥，丹佛，迈阿密迈阿密：亚特兰大，丹佛，路易维尔，纳什维尔纳什维尔：亚特兰大，波士顿，丹佛，迈阿密(要求用图论方法求解)解：建立图论模型，a, b, c, d, e，f，g分别代表亚特兰大，波士顿，芝加哥，丹佛，路易维尔，迈阿密，纳什维尔7支垒球队。得模型图如下：a-b,c,f,g b-a,c,gc-a,b,d,e d-c,e,f,ge-c,d,f f-a,d,e,g g-a,b,d,fd ga cb fe由于n=2x3+1，即k=3。而，，所以；完成比赛最少需要5天。对图着色求出比赛表。略。九．(8分)求下图G的色多项式Pk(G).解：该图的补图如下图所示：H2H1它有两个分支，对于对于H2：，，，所以于是G的色多项式