1.3概率与数理统计.pptVIP

作业 P19-3，5，6，8 * * 在实际问题中，除了要考虑事件A的概率P(A)而外，还要考虑事件A在“某事件B已经发生”这一附加条件下的概率.这样的概率，人们称之为条件概率，记为 P(A|B).相应地，将P(A)称为无条件概率. 1.3 条件概率 例1 两台机床加工同一种零件共100个，结果如下： 第一台机床加工出40件产品，其中合格产品为35件，次品为5件；第二台机床加工出60件产品，其中合格产品为50件，次品为10件。 设 A=“从100个零件中任取一个为合格品”， B=“从100个零件中任取一个是第一台机床加工的”， 求(a)P(A)和P(B)； (b)P(AB)； (c)P(A|B)和P(B|A). 解:(a)P(A)=85/100=0.85， P(B)=40/100=0.40； (b)P(AB)=35/100=0.35； (c)P(A|B)=35/40=0.875， P(B|A)=5/15≈0.333. 比较(a)与(c)中的结果 P(A|B)P(A)，而P(B|A)P(B). 这说明条件概率与无条件概率一般是不等的，且谁大谁小也不能肯定. 由例1的结果 P(A|B)=0.875，P(AB)=0.35， P(B)=0.40 还可以验证下面的式子成立： P(A|B)= P(AB)/P(B)(P(B)0) 而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0) 即 注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0) 的成立不是偶然的，是普遍规律 条件频率 设A，B为随机试验的两个事件，将试验在相同条件下重复n次，A,AB出现的次数为 在A发生的条件下B发生的次数为 则在A发生条件下B发生的频率为 定义 设A和B为随机试验E的两个事件，且P(A)0，则称比值 P(AB)/P(A) 为事件B在事件A发生的条件下的条件概率，记作 P(B|A)=P(AB)/P(A). 定理 条件概率P(AB)/P(A)(P(A)0)满足概率定义里面的三个条件. 证明 (ⅰ)P(B|A)=P(AB)/P(A)≥0. (ⅱ)P(S|A)=P(SA)/P(A)=P(A)/P(A)=1. (ⅲ)设事件B1,B2,…,Bn ,…是互不相容的，则 B1A,B2A,…,BnA,…也互不相容. 由于条件概率满足概率定义中的三条，所以由定义推得的一切结果对于条件概率同样成立. 即 推论1 P(Φ|A)=0. 推论2 设B1,B2,…,Bn是互不相容的事件，则 P {(B1+B2+…+Bn +…)|A} =P(B1|A)+P(B2|A)+…+P(Bn|A). 推论3 0≤P(B|A)≤1. 推论4 由条件概率的定义式立即可得 P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)0. 类似地有 P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)0. 这就是所谓的概率乘法公式 定理 设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2，且P(A1A2…An-1)0，则有 P(A1A2…An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)…P(An| A1A2…An-1). 证 由于 故 例2 设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设 A=“能活20岁以上”，B=“能活25岁以上”， 则 P(A)=0.8，P(B)=0.4， 而所求的概率为 P(B|A)=P(AB)/P(A). 由于B?A，故AB=B，于是 P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.4/0.8=0.5. （2） 在缩减的样本空间上计算 条件概率的计算 （1） 用定义计算: P(B)0 掷骰子 例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} P(A|B）= B 发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A 所含样本点 个数 , ) ( ) ( ) | ( B P AB P B A P = 例3 包装了的玻璃器皿第一次扔下被打破的概率为0.4，若未破，第二次扔下被打破的概率为0.6，若又未破，今将这种包装了的器皿连续扔两次，求器皿打破的概率？ 解一 设 器皿被打破的事件为A， 器皿第i次扔下被打破事件为Ai (i=1,2)， 则 解二： 显然， 是互不相容的，故 解 设A、B分别为甲、乙抓得有物之阄的事件. P(A)= 2/10 例4 设袋中装有十个阄，其中8个是白阄，两个是有物之阄.甲、乙二人依次抓取一个，求每人抓得有物之阄的概率？ 此结果说明，抓到有