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数学简史 中国科学院数学与系统科学研究院 李文林 2012年6月 目录 第 1讲. 绪论 第 2讲. 西方理性—古希腊数学 第 3讲. 东方神韵—古代与中世纪的中国数学 第 4讲. 东西文化碰撞—文艺复兴与近代数学的兴起 第 5讲. 人类精神的最高胜利—微积分的创立与发展 第 6讲. 几何学的变革-代数学的新生-分析的严格化 第 7讲. 从Hilbert问题到 Clay 问题—20世纪数学一瞥 第 8讲. 超越之梦—中国现代数学的开拓 (一)数学史的意义 不了解数学史，就不可能全面了解数学科学? 数学发展的历史性﹑累积性特征(大厦) 数学科学的整体性﹑统一性(大树) 60多个二级学科 400多个三级学科 “数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系?”(希尔伯特) 警惕数学“被分割成许多孤立的分支“的危险 “跟这种危险作斗争的最稳妥的办法也许就是要对于数学的过去成就,传统和目标得到一些知识“(希尔伯特) 了解数学创造的过程(战舰) 不了解数学史，就不可能全面了解整个人类文明史? 科学的皇后(为人类提供精密思维的模式) 科学的女仆(科学的语言和工具) 推动人类物质生产的杠杆(影响人类物质生活方式) 思想革命的武器 (逻辑说服力与计算精确性) 促进艺术发展的文化激素 (艺术特征, 数学概念与原理) 科学的皇后 数学是基础学科，是关于数量关系和空间形式 的科学，即关于数与形的学问，而数与形可以 说无所不在，这就是为什么数学正空前广泛地向几乎 一切人类知识和活动领域渗透，对此我们稍后会有更 多的讨论.现在我要强调的是，除了数学知识的直接广 泛的应用，数学对于人类社会还有一个重要的文化功 能，就是培养发展人的思维能力特别是精密思维能力。 一个人不管将来从事何种职业，思维能力都可 说是无形的财富，而这种能力的培养又不是一 朝一夕之功，必须有长时期的磨练。数学， 正 像人们常说的那样，是训练思维的体操。那么 什么是数学思维或精密思维呢？数学思维包括 很多方面。我想概括地和通俗地说，数学思维 最基本的两大方面应该是“证”和“算” . “证”就是逻辑推理与演绎证明；“算”就是计算与 算法构造，二者对人类精密思维的发展都不可 或缺。 这里主要说一说“证”。从几条不言自明的公理 出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定 理。这种演绎论证的思维模式是古希腊欧几里 得的《原本》首先开创树立的，其影响所及远 远超出了数学乃至科学的领域，对人类社会的 进步和发展有不可估量的作用。 《人权宣言》 《独立宣言》 《人权宣言》:是资产阶级民主革命思想的结晶。 开宗明义说： “组成国民议会的法国人民的代表们,…决定把自然的、不可剥夺的和神圣的人权阐明于庄严的宣言之中，以便…公民们今后以简单而无可争辩的原则为根据的那些要求能经常针对着宪法与全体幸福之维护。” 《独立宣言》:美国独立战争的理论纲领.开头也说： “我们认为下述真理乃是不言而喻的：人人生而平等，造物主赋予他们若干固有而不可让与的权利，其中包括生存权、自由权以及谋求幸福之权。” 把大家认为“简单而无可争辩的原则”和“不言而 喻的真理”作为出发点，按照数学的语言这就是 从公理出发。显然，领导法国大革命和美国独 立战争的思想家、政治家们都接受了欧几里得 数学思维的影响。另外，有记载说美国南北战 争时期的总统林肯“相信思维能力像肌肉一样也 可以通过严格的锻炼而得到加强…”为此他想方 设法搞到了一本欧几里得的《原本》并下决心 亲自证明其中的一些定理，1860年他还自豪地 报告说他已基本掌握了《原本》的前六卷”。 科学的女仆 德国大数学家、号称“数学王子”的高斯有句名言：“数 学是科学的皇后”.这句话几乎可以说家喻户晓，但许 多人可能不知道，高斯跟这句话一起说了一段话，高 斯这段原话的意思可以概括为两句话，“数学是科学的 皇后，数学也是科学的女仆.”)我理解，前一句话突出 数学是精密思维的典范，后一句则强调数学为其它科 学服务，是其它科学的工具.非常形象和恰当地反映了 数学的价值和作用. 高斯是数学家, 我们再看看一些非数学家的观点。 德国哲学家康德曾经这样说道： “我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。” 无产阶级革命家马克思也说过： “一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地