利用拉普拉斯变换分析具有初始能量的二阶系统 - 武汉工商学院.docVIP

利用拉普拉斯变换分析具有初始能量的二阶系统 霍泰山( 刘少敏 薛莲 （武汉长江工商学院 工学院，湖北 武汉 430065） 摘 要：拉普拉斯变换在信号与系统的分析中有着广泛的用途，本文利用拉普拉斯变换直接求解具有初始能量的LIT系统，利用拉普拉斯变换求系统的跳变问题。这是拉普拉斯变换的一个深入应用，可以提高信号与系统这一门课的教学效果。 关键词：信号与系统；拉普拉斯变换；系统和二阶系统；初始能量；初始值的跳变 中图分类号：O177.6 文献标识号：A 文章编号：2044/ZY（2012）01-0000-00 因为电感和电容的存在，信号的跳变是普遍存在的现象，在数学上跳变信号不属于连续信号，所以应该有不同的方法来处理这些信号。 一、拉普拉斯变换的时域范围 拉普拉斯变换是信号分析必不可少的数学工具，它的定义 (1-1) 是定义在 内的连续函数，写为。 如果 在中存在有限个间断点，可以分段进行以上的计算。 在有电容和电感组成的系统中，它的初始能量会使得初始条件产生跳变，所谓跳变就是，的值没有意义，拉普拉斯变换的定义变成 (1-2) 同样写成 。 在进行初等函数的拉普拉斯变换时这两个定义没有区别，例如 但是对函数进行拉普拉斯变换时一定要用定义（1-2）进行变换 的各阶导数以及它们的线性组合也必须利用定义（1-2）进行拉普拉斯变换。 定义（1-1）和定义（1-2）的拉普拉斯变换的性质是一样的。 其实定义（1-2）可以代替定义（1-1），它可以作为拉普拉斯变换的普遍定义。在利用定义（1-2）进行拉普拉斯变换时的值并不起作用，只要存在，拉普拉斯变换就存在，这是定义（1-2）的条件。这涉及广义函数的概念，在信号处理中进行拉普拉斯变换时没有必要深入讨论广义函数的概念。 二、利用拉普拉斯变换分析二阶系统 二阶常系数常微分方程 （2-1） 是常数，在高等数学中，它的解包括以下几个步骤：解特征方程，写出方程的通解，由非齐次项求出方程的特解，利用初始条件 求得解中的待定系数，从而求得问题的最终结果。 利用拉普拉斯变换，上述过程会变得非常简单。 对（2-1）式进行拉普拉斯变换，并求得微分方程的拉普拉斯变换解 （2-2） 式中， 经过拉普拉斯逆变换可以得到同样的解。 具有初始能量的二阶系统中初始条件有时会发生跳变，它的没有意义，描写这样系统的数学模型应该是 （2-3） 是二阶系统的输入（激励），是二阶系统的输出（响应）。 ，由系统的初始能量决定，也就是由电容电场的初始能量，即电容的初始充电电压，电感磁场的初始能量，即电感的初始充电电流决定。 和（2-1）相比，虽然只是起始的时间不一样，（2-1）从开始，（2-2）从开始，但是在高等数学中却没有直接解决（2-2）的方法，必须找到一个新的方法来解决这个问题。 一般教科书分两步解决这个问题， 利用冲击函数匹配法由和求出和的值。设，。如果或者，初始条件产生跳变。在冲激函数匹配法中指明了什么样的输入会产生跳变。从物理上讲，它是由系统的初始能量和系统的性质决定的，在电路理论中说明了这一点。 由和的值组成 （2-4） 可以用高等数学的方法来解，也可以用拉普拉斯变换的方法来解。 根据拉普拉斯变换（1-2）的定义，（2-3）符合变换的条件，所以可以对（2-3）式进行拉普拉斯变换，得到变换解 （2-5） 经过拉普拉斯逆变换可以得到（2-3）的解。这个方法和利用拉普拉斯变换求解（2-1）在形式上是一样的，但是它们有着本质的区别，在这里，利用拉普拉斯变换处理了一个从开始的具有初始跳变值的问题，从数学上讲，解决了在有间断点的激励的问题。冲激函数匹配法实际上是绕开这一点来解决问题，它要分两步来解决，第一步绕开，所谓求跳变值，第二部解决具有连续激励的问题。如果发生跳变，是没有意义，所以必须绕开。按照定义（1-2）的拉普拉斯变换，它是从开始的，它仅要求的值存在，对的值没有要求，所以可以利用拉普拉斯变换解决的问题。比较两种方法，显然利用拉普拉斯变换简单得多。 可以直接证明冲激函数匹配法和拉普拉斯变换法的结果是一样的。因为步骤繁多，不详细介绍。下面以例题来比较这两种方法。 例1、分析两阶LTI系统 （2-6） 方法一