从有限维空间到无穷维空间.pdf

信息与系统科学研究所 从有限维空间到无穷维空间 从有限维空间到无穷维空间 Move Towards Infinite Dimensional Spaces Starting from Finite Dimensional Spaces Move Towards Infinite Dimensional Spaces Starting from Finite Dimensional Spaces 报告人：彭济根 报告人：彭济根 Jgpeng@ Jgpeng@ Http:// Http:// 精勤求学敦笃励志果毅力行忠恕任事 2010-8-11 1 内容提要 ☺ 引言 ☺ 一维实空间 ☺ 有限维空间 ☺ 无穷维空间 ☺ 距离空间 ☺ 几个实例 2010-8-11 Http:// 一、引言 关键词一：有限维，无限维，空间 维数：是指用以表征对象的最少参数的个数。称一个对象 是n维的，如果它可由且仅由n个有序参数“表征”。 空间：是指赋予一定结构的集合。数学上的结构一般可分 为三大类：拓扑结构、代数结构、序结构。其中 拓扑结构（广义几何）是通过定义元素之间的“邻近方式” 而构建的。相关的基本概念是开集、极限、连续等； 代数结构是通过定义集合元素间的运算而构建的。例 加法运算、数乘运算、乘法运算等； 序结构是通过定义元素间的某种“传递”关系而构建的。 2010-8-11 Http:// 一、引言 有限维空间：如果存在某个常数n ，使得空间中每个 点都可以由至多n个有序参数表征，则称之为有限维 空间。这样的最小n称为空间的维数，同时，该空间 称为n 维空间。 无穷维空间：若空间中至少存在一个点不能由有限 个参数表征，则称之为无穷维空间。 值得注意的是，空间的维数与被用来表征的参数的选择 紧密相关。例如，一个平面若以复数来表征，它是1维 而若以实数来表征，它是2维的。 一般地，一个以复数表征的n维空间，在实数表征下是 2n维的。 2010-8-11 Http:// 一、引言 熟知，当一个空间具有（或被赋以）线性结构时 （即，定义有加法和数乘运算，且满足8条运算定律， 此时该空间称为线性空间），空间的维数可以通过确 定最大无关向量集来定义。若最大无关向量集是有限 集，则空间中每个点都可以唯一地表示为无关向量的 线性组合，因而每个元素都可以这个线性组合的系数 来表征。因此，由定义知，这个空间的维数就是最大 无关向量集中向量的个数。 线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间 线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间 结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开。 结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开。 2010-8-11 Http:// 一、引言 1维，线性