平行线相似三角形、性质与判定.ppt

* 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？ A B C D E F A B C D E F 结论：后者是前者的一种特殊情况！ ! 注意:应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关! 平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条 直线, 所得的对应线段成比例. 平移 B A C A B F E C D M (D) E F 平移 A B C 平移 A B C E D N F D F (E) * 作平行线是构造比例线段的主要手段，在比例式变形过程中 要注意灵活运用合比、等比的性质 对于中点，常过中点作平行线以等分线段或利用中位线定理 1.形状相同的图形①表象：大小不等，形状相同.②实质：各对应角相等、各对应边成比例. 三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形. △ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF. 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！ 性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F. 小结 拓展 ①.两个三角形相似，一定有角相等。当特殊位置时才有平行，而一旦有了平行就一定有相似三角形对应边以外的成比例的线段。 ②.对应边成比例提供了等量关系，我们可以借助方程的思想来解决问题。 . 图形的相似 1. 相似图形三角形的判定方法： 通过定义 平行于三角形一边的直线（预备定理） 三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 （三边对应成比例，三角相等） （SSS） （AA） （SAS） （HL） 相似三角形 对应角相等。 对应边成比例。 对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。 相似三角形的性质： 周长比等于相似比。 面积比等于相似比的 平方 。 A B C D E 相似具有传递性 △ADE∽△ABC M N 如果再作 MN∥DE ，共有多少对相似三角形？ △AMN∽△ADE △AMN∽△ABC 共有三对相似三角形。 相似三角形的8类基本模型 相似三角形的8类基本模型 常用的成比例的线段： 常用的相等的角： ∠A =∠DCB ；∠B =∠ACD B D A C 模型“双垂直”三角形 直角三角形斜边上的高 分直角三角形所成的两个 直角三角形与原三角形相似. △ACD∽△CBD∽△ABC. 直角三角形中的射影定理 公边共角 已知：如图，△ABC中，D是AC上一点，∠ABD=∠C。 求证：（1）△ABD∽△ACB （2）AB2=AD·AC ? ? ? ? 由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的 比例中项，即若△ABD∽△ACB，则AB2 =AD·AC。 判定两个三角形相似的基本思路 已知条件中有平行线截线时，先考虑用预备定理 已知两个三角形中有一个角对应相等时 证明另一个角对应相等 证明夹这一对角的两组边对应成比例 已知两个三角形中有两边对应成比例时 证明这两边的夹角对应相等 证明第三对边与其余两边中的一对边对应成比例 证明有一对角是直角 证明两个直角三角形相似的方法有两个 证明有一个锐角相等 证明有两条边对应成比例 条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例。 证明比例式或等积的常用方法 先看这些线段确定哪两个可能是相似三角形 再找这两个三角形相似所需条件 如果这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找中间比代换等） 注意：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用引平行线的方法，实质是构造“A”型或“X”型基本图形。 一般是选过已知点（或求证）中比在同一直线的点作为引平行线的出发点。 还可以直接运用射影定理 基本图形：“A”字形 基本图形：“x”字形 ①已知角相等； ②已知角度计算得出相等的对应角； ③公共角； ④对顶角； ⑤同（等）角的余（补）角相等； ⑥两直线平行，同位角（内错角）相等； 1、通过证明三角形全等，从而证明角相等。 2、直角三角形余角。 3、分别通过求证对应角的tan相等 相似三角形证明中常用找对应角的方法 例1。 如图：AB∥DE，BC∥EF 求证：△ABC∽△DEF △ABC∽△DEF AB∥DE BC∥EF （条件） （结论） 引申：证明一个结论，可以从条件出发，围绕条件找条件，直 到找到所需的条件。也可以从结论开始分析，证此结