第一章 2.4变量替换法.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 2.1 线性方程 2.2 变量可分离方程 2.3 全微分方程 2.4 变量替换法 第二章 2.5 一阶隐式方程 2.6 近似解法 2.7 一阶微分方程的应用 2.8 习题课 2.4 1.形如 的方程 原方程化为 §2.4 变量替换法 引入 于是通解为 通解为 故原初始问题的解为 例1求初值问题 的解。 解：引入新变量 ，初值问题化为: 代入初始条件得 例2: 求微分方程 的通解. 解: 令 原方程可化为: 这是一个变量可分离方程,其通解为: 代入原变量得原方程的通解: 2.形如 的方程 引入变量 则 原方程化为 例3：求 的通解。 代入整理得 积分后得 代入原变量得方程通解为 变量替换法 解：令 则 分离变量得 例3：求微分方程 的通解. 解: 原方程两边同时乘以 得: 令 代入上式整理得: 变量分离后得通解: 原方程的解为: 例4：求解微分方程 3.其它变换举例 解: 此方程改写为 : 令 ,则 代入上式得: 变量分离后得通解: 原方程的解为: 例5：求解微分方程 解: 令 ,则 这是一个齐次方程 代入上式得: 求解该齐次方程,并代入原变量得通解为: 例6：求解微分方程 解: 令 代入原方程得: 求解该方程,并代入原变量得通解为: 因为 例7：求解微分方程 解: 令 因为 方程两边同除以 后得: 代入原方程得: 求解该方程,并入原变量得通解为: 例8：求解微分方程 解: 代入上式变形为: 将方程变形为: 因为 因为 令 将方程化为: 求解该方程,并代入原变量得通解为: 形如 的方程，称为Riccati方程 Riccati可求解的一些特殊类型 （1）当 为常数时，变量可分离. （4）当方程为 则利用 化为 3.Riccati方程 （2）当 时, 是线性方程. 求解. （3）当 时，是Bernoulli方程引入新变量 （5）Riccati方程的一个特解 已知时，我们 利用 代入方程 消去相关项后，化为Bernoulli方程 查看 Bernoulli 方程