2.1-2.2梯度定义.pptVIP

第二章 最优化问题的 数学基础; §2.1 二次型与正定矩阵;1、二次型 二次型的定义为;2、正定与负定 如果对于任意非零向量 z ，总有 f (z) 0，则称二次型 f (z) 正定，等价地，也称矩阵 H 正定。 如果对于任意非零向量 z，总有 f (z) 0，则称二次型 f (z) 负定，等价地，也称矩阵 H 负定。;进一步，如果二次型 f (z) 正定（即 H 正定），则二次型 -f (z) 负定（即-H负定）；反之亦然。;3、正定与负定的条件 以 dk 表示矩阵 H 的顺序主子式的行列式：;如果所有的顺序主子式的行列式都大于0，即 dk 0，k = 1,…,n，则 H 为正定矩阵。 如果所有的顺序主子式的行列式的符号正负交替，即对 k = 1,…,n，dk 与 (-1)k 的符号相同（或者说 (-1)k dk 0 ），则 H 为负定矩阵。;（2）、代数余子式 设行列式中某一元素位于第 i 行、第 j 列，若将对应于该元素的子行列式记为 Aij ，则称 (-1)i+j Aij 为对应于该元素的代数余子式。;（3）、行列式的计算 定理： 行列式等于它的任意一列（或一行）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和。;§2.2 方向导数与梯度;例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？;0; 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题．;当 沿着 趋于 时，;记为;中;二、方向导数的定义;或; 利用直线方程可将方向导数的定义; 怎么计算方向导数？;定理(方向导数计算公式);运用向量的数量积，可将方向;看看三维空间的情形;设;由点;一个问题：;由前面的推导，有;定义;几何意义;等高线的画法;二维情形;例 用图解法求解二维最优化问题;梯度与等高线的关系：;如：在几何上 表示一个曲面;串厚灭房匪屁恨粕坷雍限氟苗驰优肤轰输鸳摔遭栖芯期遮急荒烟志炬握岭2.1-2.2梯度定义2.1-2.2梯度定义;方向导数计算公式表示为：;当e取为任意P方向时;梯度与方向导数的关系; 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。;腹颠酷幸袱缀估转备趣类荐娘抱辱搞信耗俘屡擒网茵桐褥息歌匆辗墩涉运2.1-2.2梯度定义2.1-2.2梯度定义;设;解;解;送默算牟卧涎易核美炒菇蝇苔税琉直八夷骂害覆循沫房甭注呆优悄累绷西2.1-2.2梯度定义2.1-2.2梯度定义;解;作业：Ｐ45： 1.2.3.4.5;练 习 题;1、方向导数的概念;症铅藐昧突浇搓概些祸杖塌僵奉棍肺栅谱兴窝框赎氦掉缀裤帘旁价唐绒愁2.1-2.2梯度定义2.1-2.2梯度定义;练习题答案