3 拼补与分割.pptVIP

從上例可以看出「拼湊」不僅是一個十分有效的方法，其內含也十分深刻，在數學學習中，應注意累積「拼湊」的經驗，在解數學題時，當腦中構想出一種數學模型，不要輕易放棄你的想法，善於拼湊往往能助你獲得成功。 2. 拆與併─拆與拼是中學的數學中最廣泛使用的分合思想方法，善於對式子進行「拆、拼」是解決數學問題的最基本的技能。國中數學中的合併同類項、分組分解因式、配方、加減消去法、分合比定理等等都是需要熟練應用拆拼的技巧。在高中數學中，拆拼法也形成許多固定的用法，最典型的例子就是數列求合中的「拆項」求和法與「分項」求積法。拆與拼看似兩個矛盾的對立面，這裡卻相輔相成，有機的結合在一起。 提示： 併項求和也有一個很重要的模型─「疊加」，所謂疊加就是將自然數1、2、3、…輪流代入一個與自然數有關的數學式子之中，然後將所得的結果合併起來的一種併項方法。運用疊加法的關鍵是要能建立起一種有效的模式。 在解數學問題時，不僅數學式子可以拆拼，問題也可以拆拼，即將問題中的關鍵結構(式或形)拆分。問題的分解有兩種基本形式：橫向分解和縱向分解。所謂橫向分解，就是把問題分成一組互相獨立的小問題。在這一組小問題中，任一小題的解決都不依賴於其它小題的結果，而這一組小題完全解決後，綜合起來就可得到原問題的結論。所謂縱向分解，就是把原問題分解成一組互相關聯的小問題。在這一組小題中，後一小題的解決依賴於前面小題的結果，當最後一個小題被解出時，就可得到原來問題的結論。有時一個問題的論證非常困難，如果能將問題分拆為若干情況，然後分別對每種情況進行論證，常常能達到化難為易的目的。 3. 拼補與分割─數學上有許多重要問題的解決或發現，是數學家巧妙的運用了圖形的拼補與分割而獲得的，其中最輝煌的就是無限分割方法。公元前的數學家就知道將拋物線圍成的圖形或球體切割成一片片或一塊塊來計算它們的面積或體積。這其中無限分割的思想經過長時間數學家發現的累積，終於建立起數學一個重要的分支─微積分學。「分合並用」的策略在幾何中的應用則更為廣泛與靈巧，在中學數學中的平面幾何與立體幾何，許多內容都包含圖形的拼補與分割。例如：畢氏定理的證明方法之一就是將三個正方形拼接在一個直角三角形的三邊上；多邊形的研究則必須將它分割成若干個三角形；三稜錐的體積公式之推導首先必須將三稜錐補成一個三稜柱，然後再將三稜柱分割成三個等體積的三稜錐；欲求動點繞圓錐側面一週的最短路徑，則必須用剪刀延母線將圓錐側面剪開。這些豐富多彩的拼補與分割的方法構成了幾何中獨特的思路。 4.整體考量─對於某些數學問題，有時不需要對條件或結論進行分解，也無需設立中途點去逐步逼近；而是全面地、整體地考慮問題，注意問題的整體結構。在讀題階段即形成對問題整體的概約表象，從全局的觀點把握條件與結論的聯繫，擺脫局部細節一時難以弄清的數量關係的困擾，避免各解題環節的脫節與孤立；從而在解題過程中整體把握，跳脫常規步驟，使問題簡潔明快地得到解決。我們稱這種解題策略為整體考量的策略，這是數學觀念與系統論中整體思想原則在解題中的具體表現，是一種以合制分，著眼於全局的思考。 六、動靜轉換 動和靜是事物狀態表現的兩個面象，它們相對比較而存在，依情況而轉化，動中有靜，靜中寓動。在數學中，一方面動和靜在一個參照系統中是相對的，可以轉化的。另一方面，對於同一事物可以追尋形成靜止狀態以前的運動過程；或反過來，從運動表現中推出事物將會到達到的相對靜止情形。因此在解決數學問題時，可以用動的觀點來處理靜的數量和形態，即以動求靜；也可以用靜的方法來處理運動過程和事物，即以靜求動。這就是數學解題中的動靜互換策略。遞推法、變換法、軌跡相交法、定值探求法等都是動靜轉換解題策略的具體表現。利用動靜轉換策略處理問題不僅可以有化難為易的作用，而且可以簡潔明快的解決問題。 1. 化靜為動、以動求靜─事物運動的靜止狀態只是相對的，在一定的條件下，它會向顯著變動的方向轉化，有的問題在靜態下雖然可得到結果，但往往較為繁雜，如果善於變靜態為動態，即將靜止狀態看成運動過程中的某一瞬間，通過研究變動的一般狀態來考察確定的、特殊的情形。比如將常數看成變數的取值，這種以動求靜的處理手法往往會收到奇效。 2. 以靜制動、動靜互換─運動和靜止是相對的，運動的A 相對於靜止的B，也可看成B 動A 靜。此外，正如颱風中心是平靜的一樣，事物的運動中也會有一些穩定的狀態，抓住這些不變的性質或不變量作為解題的突破口，也常會收到奇效。 * * 縱向分解又可分為回歸式分解和爬坡式分解兩種。所謂回歸式分解就把問題分解成幾個子問題, , …, 之後，的解決為後面的子問題提供了解題基礎，使子問題() 可轉化為的情況，這裡的具有引理的作用。所謂爬坡式分解是指把問題分階段安排成一些小目標系列，使得一旦證明了前面的小問題，就能