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* 指数分布族 * 五、条件分布 1、问题的引入 若A和B是任意两个事件，且 ，则称 为在B事件发生的条件下，事件A发生的条件概率。 考虑随机向量 ，其中 表示人的身高（单 位：米）， 表示人的体重（单位：公斤），在 身高为1.9米的人群中，体重 的分布就再也不是 原来的分布了。而是在 的条件分布。 * 2、条件分布 连续随机向量 不妨设 是 的q个分量组成。 是余下的n-q个分量组成。 是 条件下， 的条件概率密度函数。 * 例 设X=(X1,X2)’有概率密度函数 试求条件密度函数 f(x1|x2)和 f(x2|x1)。 * 所以先求 * 所以当 时, 当 时, * 3、设 是n个随机向量，若 对一切 成立，则 相互独立。 六、 独立性 1、定义 设 和 是两个随机向量，若 对一切 、 成立，则称 和 相互独立。 2、设 和 是两个连续随机向量， 和 相互 独立，当且仅当 对一切 、 成立。 * 例 设X=(X1，X2，X3)’的联合概率密度函数为 试证 X1，X2，X3相互独立。 * §4 随机矩阵 一、数学期望 1、定义 是有随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学期望为 * 特别当时 ，便可得到随机向量 的数学期望为 2、性质 1）? 设?a为常数，则 ； 2）设 分别为常数矩阵，则 3）设 为n个同阶矩阵，则 * 二、协方差矩阵 1、定义：设 和 分别为p维和q维随机向量，则其协方差矩阵为 * * 2、性质 1）若 和 相互独立。则 * 若 的分量相互独立, 则协方差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即 * 2）随机向量X的协方差矩阵?是非负定矩阵。 证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则 3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则 * 4) 若 和 分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则 证明 5） 若 是p个不全为零的常数， 是相互独立的p维随机向量，则 * 三、相关系数矩阵 若 和 分别是p和q维随机向量，则其相关系数矩阵为 * §5 随机向量的变换 一、一元随机变量的变换 设X具有概率密度函数fx(x)，函数y=?(x)严格单调，其反函数x=?(y)有连续导数，则Y=?(X)的概率密度函数为 其中y的取值范围与x的取值范围相对应。 * y的取值范围为(0,?),则 例 设随机变量X服从均匀分布U(0,1),即密度函数 * 二、多元随机向量的变换 若 有密度函数 ， 有函数组 其逆变换存在 则 的概率密度函数为 * 其中 特别：若 ，其中 为 阶可逆常