数值分析课件(第2章).pptVIP

2.1 引言 许多实际问题都用函数 y=f (x) 来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f (x) 在某个区间 [a, b] 上存在、连续，但只能给出 [a, b] 上一系列点的函数值表时，或者函数有解析表达式，但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表（如三角函数表、对数表等）时，为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上点的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f (x) 的特性，又便于计算的简单函数 P (x)，用 P (x) 近似 f (x)。这就引出了插值问题。 通常选一类较简单的函数作为 P (x)，如代数多项式或分段代数多项式，这样确定的P (x) 就是插值函数。 知 识 结 构 图 二 x 1 y=L10(x) o -1 0.5 y 1.5 1 龙格现象 二、分段线性插值 分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x). 2.6 三次样条插值 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。 一、三次样条函数 y=L10(x) 每个小区间上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应 确定4n个参数。 y=L10(x) 二、三次样条插值函数的建立 y=L10(x) y=L10(x) y=L10(x) y=L10(x) y=L10(x) 一、最小二乘法及其计算 3.4 曲线拟合的最小二乘法 例8 已知实测数据表如下,求它的拟合曲线 4 4.5 6 8 8.5 2 1 3 1 1 yi ωi 1 2 3 4 5 xi 0 x y 2 4 6 8 6 4 2 例9 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=a e b x,用最小二乘法确定a，b。 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 xi yi 0 1 2 3 4 i 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135 xi yi yi 0 1 2 3 4 i 机动 上页 下页 首页 结束 研究生公共课程数学系列 第2章 插 值 法 内容提要 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值 1、插值法的定义 2、几何意义、外插、内插 P(x) ? f(x) x* (外插) x0 x1 x (内插) x2 x3 P(x*) ? f(x*) 3、插值的种类 选取不同的函数族构造 P (x) 得到不同类型的插值 若 P (x) 是次数不超过 n 的代数多项式，就称为多项式插值； 若 P (x) 为分段的多项式，就称为分段插值； 若 P (x) 为三角多项式，就称为三角插值。 本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容为如何求出插值多项式，分段插值函数；讨论插值多项式 P (x) 的存在唯一性、收敛性及估计误差等。 4、多项式插值问题 插值多项式的存在唯一性 定理1 ( 存在唯一性 ) 满足插值条件的不超过 n 次的插值多项式是存在唯一的。 x 0 2.2 拉格朗日插值 一、线性插值与抛物插值 1、线性插值 y=f(x) L1(x) y xk+1 xk yk yk+1 2、抛物插值 求解基函数 二、拉格朗日插值多项式 上面针对 n=1 和 n=2 的情况，得到了一次和二次插值多项式，这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。 定理表明： (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近, 插值误差一 般情况下越小。 (2) 若被插值函数 f (x) 本身就是不超过 n 次的多项式, 则有