向量在平面几何解题中的应用.pptVIP

* 向量有关知识复习: （2）向量共线的充要条件: （3）向量垂直的充要条件： （1）向量平行与直线平行的关系: （4）向量的模： 则它们所在的直线不一定平行 则向量平行 若向量平行， 若向量所在直线平行， 与 共线 一、应用向量知识证明三点共线 例1、如图已知△ABC两边AB、AC的中点分别为M、N， 在BN延长线上取点P，使NP=BN，在CM延长线上取点Q， 使MQ=CM。求证：P、A、Q三点共线 A B C N M Q P 解：设 则 由此可得 即 故有 ，且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线 一、应用向量知识证明三线共点 B C A D M N 练习：在平行四边ABCD中，M是AB的中点，N是BD上一点， ， 求证：M、N、C三点共线 解：设 M、N、C三点共线 例2、证明顺次连结四边形各中点所得四边形为平行四边形。 A B D C 已知：如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB BC、CD、DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形 H G E F 分析：要证平行四边形，只需证一组对边 平行且相等，即它们所对应的向量相等。 证明：连接AC E、F分别是AB、BC的中点 1 1 BC AB BF EB EF 2 2 + = + = ∴ ∴ ∴ 四边形EFGH是平形四边形 二、应用向量知识解决有关平行的问题 x y B A C E F o 二、应用向量知识解决有关平行的问题 练习：已知A（-1，0） B（3，-1） C（1，2） 且 求证： 解： 三、应用向量知识解决有关垂直的问题 例3、证明直径所对的圆周角是直角 A B C O 如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量 ，即 。 解：设 则 ， 由此可得： 即 ，∠ACB=90° 练习：已知，如图，△ABC中,A（2，-1)、B(3，2)、 C（-3，-1）,BC边上的高为AD,求D点及向量 的坐标。 分析：由已知得 ，D点在BC上，即 ，设出D点坐标可列出方程组求解，然后求出 。 解①②组成的方程得 x=1 y=1 解：设D(x,y)，则 =（x-2,y+1)， 又 =（-6,-3)，由题意 ， ，即-6(x-2)-3(y+1)=0， 2x+y=3。 又 与 共线，而 =（x-3,y-2), =(-6，-3)， -3(x-3)-(-6)(y-2)=0，即x-2y=-1。 A B C D x O y 三、应用向量知识解决有关垂直的问题 四、求解证明有关长度的问题 例4、已知，如图，已知点A（1，4)、B( ，1)、 C（2，4）,求△ABC中∠A的平分线AD的长。 分析：要求AD的长，首先求出点D的坐标。而求D点坐标， 只需求出D分 所成的比，利用角平分线的性质可解决。 解：由角的平分线性质得 ∠A的平分线AD的长为 。 由两点间的距离公式，求得|AD|= 点D在线段BC上， 点D为 的内分点。 设点D分 的比为　　　 ，则　 A D C 再由定比分点坐标公式得 D点坐标为 B O y x 由 =（ ， ）， =（1，0）得 练习：证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和 A B D C 已知：平行四边形ABCD。 求证： 解：设 ，则 分析：因为平行四边形对边平行且相 等，故设 其它线段对应向 量用它们表示。 ∴ 四、求解证明有关长度的问题 向量是一种重要的解题工具，它在平面几何，立体 几何以及物理等方面有着广泛的应用。利用它可以求解 证明三点共线，直线平行，垂直