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§3.1? 曲面及其相关概念 ? ? 1. 曲面及其参数表示 曲面的坐标形式的参数方程: . 曲面的向量形式的参数方程: , . 简记为 , . 称为曲面的参数或曲纹坐标．也称是点的参数或曲纹坐标. 例1 (1) 圆柱面 cos，sin，z = z, . 其中常数为截圆的半径． ??? 当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标. 　　(2) 球面 coscos，cossin，sin， . 这里, 称为经度，称为纬度. 是球面的半径． ??? 当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标. ? (3) 旋转面 把xz平面上一条曲线 ：x =， 绕z轴旋转，得旋转面: x =，y =，． ??? 当, 时, , , . 于是是点的曲纹坐标. ? ??? (4) 连续函数的图象 该曲面的参数方程为. 和是参数(曲纹坐标). 是点的曲纹坐标. ? 坐标曲线 曲线：, 即. 曲线：, 即. 一般地, 通过每一点, 有唯一一条曲线和唯一一条曲线. 曲纹坐标网 例2? （1）圆柱面（例1（1））: cos，sin，z = z. （2）球面（例1（2））: coscos，cossin，sin. (3) 旋转面（例1（3））: x =，y =，． (4) 连续函数的图象（例1（4）） ? ? 2. 光滑曲面? 曲面的切平面和法线 在曲面上的(,)点处, u-曲线的切向量, v-曲线的切向量． ? 定义? 曲面的正则点(正常点) P0(,): r(,)和r(,)不平行. 正则曲面: 处处是正则点的曲面. ? 例? 在双叶双曲面的一叶(、和均为正的常数, , )上, 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量 ; 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量 . 由于在上的任何点处, 和不平行, 故上的点都是正则点, 从而是正则曲面. ? 定理3.1.1? 曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的参数表示． 曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过P的曲线Γ在P0的切方向. ? 曲面：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t). Γ的向量式参数方程: r = r(u(t), v(t)) = r(t). 其切方向 (t) = r+ r. 也可写为 dr = ru du + rv dv. ?????????? 定理3.1.2? 曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量r和r所决定的平面上．称此平面为曲面在这一点的切平面． ? 曲面上一点的一个切方向的表示: du:dv----表方向dr = ru du + rv dv, 也表方向 -dr = -ru du - rv dv. 二者视为同一方向. 例如, du:dv = (-2):3表方向dr = -2ru + 3rv , 也表方向 -dr = 2ru - 3rv . 二者视为同一方向. ? 例? 环面 (为常数, )上的点即点. 该点处的切方向表示方向 曲面：r = r(u, v)上在点(,)的切平面的方程： (m- r(,)，r(,)，r(,)) = 0， 或写成坐标的形式： ． ??? 特例? 对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有 r= {1，0，}，r= {0，1，}. 所以曲面在点(,)的切平面的方程为： . ? 法方向: 垂直于切平面的方向. 法线: 经过曲面上的一点并平行于法方向的直线. 法向量: n = rr. 单位法向量: n=． 曲面的法线方程: m = r(,) +r(,)r(,). ??? 若曲面的坐标形式的参数方程为, 则法线方程为 ? ? ? ? 特例? 对曲面：r ={x，y，z(x, y)}，有 . ? 例3? 求圆柱面r = {}(为常数)上任意点的切平面和法线的方程． 解? 因为 r=，r={0,0,1}． 所以，在任意点的切平面方程为 ， 即 . 在任意点的法线方程为 ， 即 ? §3.2? 曲面上的双参数活动标架 ? 1. 曲面的双参数活动标架 定义曲面：r = r(u, v)的第一基本量 E(u, v) = rr， F(u, v) = rr， G(u, v) = rr. 令 , . 根据Lagrange恒等式，有 ( rr)( rr) = r r－(rr)= EG－F． 于是 ． 令 由此得到曲面上的正交右手系标架[r(u ,v)；(u ,v)，e(u ,v)，e(u ,v)]. 由于它依赖于两个参数u和v, 故称之为曲面的双参数活动标架. 注1? 和e所张成的平面就是曲面在一点处的切平面． 注2? 不要记e2的上述繁琐的表达式. 要计算e2, 首先计算e1和e3 , 然后用直接计算e2 . 注3? r