2007年全国高中数学联赛(湖北赛区)预赛试题详解.docVIP

2007年全国高中数学联合竞赛(湖北赛区)预赛试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 已知是方程的两个根，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设为△的边上一点，为△内一点，且满足, ，则 ( ) A. B. C. D. 3. 定义在 上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当x∈[0,)时，，则的值为 ( ) A. B. C. D. 4. 已知是一个棱长为1的正方体，是底面的中心，是棱上的点，且，则四面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，A. . B. . C. D. 6. 使得是完全平方数的正整数有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7. 设表示不大于的最大整数，集合，，则 _________________. 8. 若数列满足：，则_______. 9. 设复数其中，当取得最小值时，__________. 10. 设，则函数的最小值为__________. 11. 对于函数，存在一个正数，使得的定义域和值域相同，则非零实数的值为__________. 12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点到其渐近线的距离为.若过点作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于点，且是与的等比中项，则双曲线的半焦距为__________. 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 过点作已知直线的平行线，交双曲线于点. （1）证明：点是线段的中点. （2）分别过点作双曲线的切线，证明：三条直线相交于同一点. （3）设为直线上一动点，过点作双曲线的切线，切点分别为.证明：点在直线AB上. 14. 已知数列满足递推关系式：，. （1）若，证明：（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当时，有. （2）若，证明：当时，有. 15. 求所有的正整数，使得是一个完全平方数，且除了2或3以外，没有其他的质因数. 2007年全国高中数学联合竞赛(湖北赛区)预赛试题 参考答案及评分标准 说明： 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1. 已知是方程的两个根，则 （ ） A. B. C. D. 解 原方程变形为，即. 令，则，解得.所以或，所以方程的两根分别为和，所以. 故选（C）. 2. 设为△的边上一点，为△内一点，且满足, ，则 ( ) A. B. C. D. 解 连PD，则，所以，故，故 . 故选（A）. 3. 定义在 上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当x∈[0,)时，，则的值为 ( ) A. B. C. D. 解 根据题设条件可知 故选（B）. 4. 已知是一个棱长为1的正方体，是底面的中心，是棱上的点，且，则四面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 解 易知平