高中数学必修1教案14：函数的奇偶性.docVIP

高中数学必修1教案14 课题：函数的奇偶性 课 型：新授课 教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。 教学重点：熟练判别函数的奇偶性。 教学难点：理解奇偶性。 教学过程： 一、复习准备： 1.提问：什么叫增函数、减函数？ 2.指出f(x)＝2x－1的单调区间及单调性。 →变题：|2x－1|的单调区间 3.对于f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x，分别比较f(x)与f(－x)。 二、讲授新课： 1.教学奇函数、偶函数的概念： ①给出两组图象：、、；、. 发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征 ② 定义偶函数：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫偶函数（even function）. ③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义. （如果对于函数定义域内的任意一个x，都有），那么函数叫奇函数。 ④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性） ⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。 （假如f(x)是奇函数呢？） 教学奇偶性判别： 例1．判断下列函数是否是偶函数． （1） （2） 例2．判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4）． （5） （6） 例3.已知函数对任意，总有，且当时，，。 （1）求证：在上是减函数，且是奇函数； （2）求在上的最大值和最小值。 （3）解关于的不等式。 4、教学奇偶性与单调性综合的问题： ①出示例：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调性。 ②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论） ③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明。 三、巩固练习： 1、判别下列函数的奇偶性： f(x)＝|x＋1|+|x－1| 、f(x)＝、f(x)＝x＋、 f(x)＝、f(x)＝x,x∈[-2,3] 2.设f(x)＝ax＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。 3.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝，求f(x)、g(x)。 4.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入) 5.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（ ）函数，且最 值是 。 四、小结 本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质． 五、作业P39页A组6、B组3 后记： 补充材料 【例1】判别下列函数的奇偶性： （1）； （2）；（3）. 解：（1）原函数定义域为，对于定义域的每一个x，都有 ， 所以为奇函数. （2）原函数定义域为R，对于定义域的每一个x，都有 ，所以为偶函数. （3）由于，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知是奇函数，是偶函数，且，求、. 解：∵ 是奇函数，是偶函数， ∴ ，. 则，即. 两式相减，解得；两式相加，解得. 【例3】已知是偶函数，时，，求时的解析式. 解：作出函数的图象，其顶点为. ∵ 是偶函数， ∴ 其图象关于y轴对称. 作出时的图象，其顶点为，且与右侧形状一致， ∴ 时，. 点评：此题中的函数实质就是. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下. 【另解】当时，，又由于是偶函数，则， 所以，当时，. 【例4】设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围. 解：∵ 在区间上是减函数， ∴ 的图象在y轴左侧递减. 又 ∵ 是奇函数， ∴的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减. 又 ，解得， 所以的图象在R上递减. ∵ ， ∴ ，解得. 点评：定义在R上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反. 函数的奇偶性练习 ※基础达标 1．函数 (|x|≤3)的奇偶性是（ ）. A．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶