全国通用2017届高考数学一轮总复习第十二章概率与统计124离散型随机变量及其分布列均值与方差专用题组理.docVIP

§12.4　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 考点一　离散型随机变量及其分布列 9.(2013天津,16,13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率; (2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望. 解析　(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)==. 所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==,P(X=4)==. 所以随机变量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 随机变量X的数学期望EX=1×+2×+3×+4×=. 评析　本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件,离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 10.(2013陕西,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望. 解析　(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”, 则P(A)==,P(B)==. ∵事件A与B相互独立, ∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(A)=P(A)·P()=P(A)·[1-P(B)] =×=. (2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”, 则P(C)==, ∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X=0)=P(　)=××=, P(X=1)=P(A )+P(B)+P(C) =××+××+××=, P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC) =××+××+××=, P(X=3)=P(ABC)=××=, ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==. 11.(2013福建,16,13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X≤3的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大? 解析　解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响. 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A, 则事件A的对立事件为“X=5”, 因为P(X=5)=×=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即这2人的累计得分X≤3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2). 由已知可得,X1~B,X2~B, 所以E(X1)=2×=,E(X2)=2×=, 从而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=. 因为E(2X1)E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为,小红中奖的概率为,且两人中奖与否互不影响. 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A,则事件A包含有“X=0”“X=2”“X=3”三个两两互斥的事件,因为P(X=0)=×=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=, 即这2人的累计得分X≤3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则X1,X2的分布列如下: X1 0 2 4 P X2 0 3 6 P 所以E(X1)=0×+2×+4×=,E(X2)=0×+3×+6×=. 因为E(X1)E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 评析　本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查数