数理方程第1讲典型方程建立.ppt

数 学 物 理 方 程 §1 基本方程的建立 导出数学物理方程的一般方法： 确定所研究的物理量； 建立适当的坐标系； 划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出 该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互 作用在一个短时间内对所研究物理量的影响， 表达为数学式； 简化整理，得到方程。 例 1. 弦的微小横振动 设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。 假设与结论： （1）横振动 坐标系 Oxu ，位移 u(x,t) 第一章 数学物理方程的导出和定解问题 例3. 声学方程 第一章 数学物理方程的导出和定解问题 第一章 数学物理方程的导出和定解问题 例 5. 热传导方程 波动方程 　— 声波、电磁波、杆的振动； 热传导方程 — 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程; Laplace方程 — 稳定的浓度分布, 静电场的 电位, 流体的势. * * 1.王元明 《数学物理方程与特殊函数 》 东南大学数学系 2. 谢鸿政等 《数学物理方程》 哈尔滨工业大学数学系 3. 谷超豪等 《数学物理方程》 复旦大学数学系 4.王明新 《数学物理方程》 哈尔滨工业大学数学系 课程内容：研究数学物理方程的建立、求 解方法和解的物理意义分析。 第一章 典型方程和定解条件的推导 第一章 典型方程和定解条件的推导 x1 x2 T(x1) T(x2) u x （2）微小振动 第一章 典型方程和定解条件的推导 （3）弦柔软、均匀. 张力 , 密度 ； 建立方程： 取微元 MM’ ，研究在水平方向和垂直方向 MM’ 在不受外力的情况下的运动情况。 u x T(x) M M’ x x+dx 第一章 典型方程和定解条件的推导 牛顿运动定律： F = m·a 作用在弧段 上的水平方向的力为 倾角很小，即 近似得 垂直方向的力为 （1） 第一章 典型方程和定解条件的推导 于是等式（1）变成 由微积分知识可知，在时刻t 有 （2） 等式（2）可以写成 u x T(x) M M’ x x+dx 由于 令 ，取极限得 略去重力，可得方程 其中 (3) 弦振动方程（3）中只含有两个自变量 和 ，其中 表示时间， 表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。 注1.如果在弦的每单位长度上有 外力作用，则方程（3）具有下列形式： （4） 其中 ，而外力可以是压力、重力、阻力等。 第一章 典型方程和定解条件的推导 注2. 例 2. 传输线方程 研究高频传输线内电流流动规律。 第一章 典型方程和定解条件的推导 待研究物理量: 电流强度 i (x,t) , 电压 v (x,t) R — 每一回路单位的串联电阻, L — 每一回路单位的串联电感， C — 每单位长度的分路电容， G — 每单位长度的分路电导， 第一章 典型方程和定解条件的推导 Kirchhoff 第一,二定律 微分 两端对x微分 两端对t微分*C 相减 — 传输线方程 高频传输，G=0, R=0 —高频传输线方程 与一维波动方 程 类 似 Lapalce算子 三维波动方程 例4 静电场的势方程 在区域 内, 静电场强度为 , 介电常数 , 电荷密度为 ,求静电场的势满足的方程 即 奥氏公式 故 故 即 — Laplace方程 —Poisson方程 当　内没有电荷时 静电场 是有势场，故存在势函数 u, 有 奥高 公式 第一章 典型方程和定解条件的推导 ] , [ 2 1 t t 内，通过曲面S流进V的热量 其中 分别是物体的比热和密度。 第一章 典型方程和定解条件的推导 热量守恒定理 化简 三维齐次热传导方程 如果所考察的物体内部有热源 , 则热传导方程为 其中 第一章 典型方程和定解条件的推导 二维热传导方程 ―维热传导方程 第一章 典型方程和定解条件的推导 三维热传导方程 当我们考察气体的扩散,液体的渗透, 半导体材料