6第3章概念3-守恒量、位力定理、费曼-海尔曼定理.pptVIP

十一、力学量平均值随时间的演化 1.海森堡运动方程 因为 所以 即 如果 不显含时间，即 , 则 由此知道， 只所以随时间变化，是因为状态 随时间变化。在 态下描述力学量平均值随时间的变化，称为薛定格图像（绘景）。 （1）取 ，有 （对应于经典的速度） （2）取 ，有 对应于经典牛顿第二定律，称为艾伦弗斯特定律。 2.守恒定律 如果 不显含时间，即 ，并且 ，则有 即力学量 平均值不随时间变化。这时称 为运动恒量，即守恒量。 （1）自由粒子 、 、 都与 对易，它们都是守恒量。 （2）中心力场 与 平行，所以力矩 。 、 、 都与 对易，它们都是守恒量。 （3）各向同性谐振子 这也是中心力场问题。 守恒量有： 力学量完全集有两种表示： 直角坐标系 球坐标系 说明： （1）量子体系的守恒量在任何态下的平均值和概率分布都不随时间变化。 因为 所以它们有共同完备的本征函数系。 令 任意状态 可以展成 展开系数 且 在此态下测量 的概率随时间的变化率为 （2）量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态不一定是某个守恒量的本征态。若初始时刻体系处于守恒量的本征态，则体系保持在该本征态；若初始时刻体系不处于守恒量的本征态，则以后的状态也不是体系的本征态，但守恒量的平均值和概率分布都不随时间变化。 （3）注意区分守恒量与定态概念。定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态；而守恒量则是体系的一个特殊力学量，它与 对易。在定态下，一切力学量（不显含t，不管是否守恒量）的平均值和测量值概率都不随时间改变；而守恒量则在一切状态下（不管是否定态）的平均值和测量值概率都不随时间改变。 3.海森堡图像 其通解为 其中 在 时刻 令 则 其中用到了 可以看出，当把算符 作用到波函数 会得到刻波函数 。 称为时间演化算符，满足 （幺正算符） 下面利用 求 。 令 则 由此可知，初始波函数 与t无关， 之所以与t有关，是因为 与t有关。 等于一个与t有关的算符在 态下求平均。 所以 而 又 所以 利用演化算符 求力学量平均值对时间的演化是在与时间无关态 下求与时间有关的算符 的平均值，称为海森堡图像。 海森堡图像： 薛定格图像： 十二、位力定理 经典力学： 即 所以 长时间内， 的平均值为零 如果存在势能，有 量子力学： 所以 在 态下，对上式求平均，左边两项分别为 即左边为零，所以 即位力定理。 一般而言，当 是 的 次齐次函数即 （c为常数） 时，有 则 例如，一维谐振子 有 所以 再如，中心力场 有 所以 利用位力定理可以方便地讨论动能、势能的平均值与总能量之间的关系。 十三、费曼-海尔曼定理 设体系的哈密顿算符 中含有某参量 （可以是质量 、普朗克常数 、角频率 等）， 为 的本征值，相应的归一化本征函数（束缚态）为 （n为一组量子数），则 即为费曼-海尔曼定理。 证明： 得 对参量 求导数 两边做运算 得 所以 例如，一维谐振子 则 （1）取 由FH定理可得 因此 则 （2）取 所以 则 （3）取 所以 下面利用FH定理证明位力定理。 在坐标表象中 利用FH定理，得 取 为参量，有