等差数列与等比数列的综合应用.docVIP

考点3 等差数列与等比数列的综合应用 1. （15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考设等比数列的首项为，公比为q(q为正整数)，且满足是与的等差中项；数列满足(1)求数列的通项公式； (2)试确定实数t的值，使得数列为等差数列. 【考点】等差数列的通项公式等差. 【解】(1)由题意，则，解得或，因为q为正整数，所以q=2，，所以(2)当n=1时，， 同理可得：n=2时，n=3时，则由，得t=3， 并且，当t=3时，， 得，由，知此时数列为等差数列故t=3. (2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一)已知和分别为数列与数列的前项和，且，，.则当取得最大值时，的值为【考点】等差等比数列的通项公式以及等差数列的前n项和. 【答案】【分析】由可得：，两式相减得： 又，也符合，， 所以数列的前4项为正项，第5项为0，故它的前4项和与前5项和相等且最大所以n=4或5(2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一) 已知数列满足：，且.. (1)求证是等比数列； (2)(i)求数列的通项公式； (ii)求证：对于任意都有成立. 数列的递推公式，等比数列的判断，放缩法证明不等式(1)由已知，则， 又，则是以3为首项、3为公比的等比数列(2)(i)解法1：由()得，即，则， 相减得 则， 相加得，则， 当时上式也成立 由得， 故. 解法2：由得， 则，，， 相加得解法3：由得， 设，则，可得， 又，故， 则. (ii)证法1：易证 则 ， 同理可得 则 故 证法2： 故. 证法3： 易证则 故 4．(淮安都梁中学2015届高三10月调研已知等差数列的公差是d，是该数列的前n项和． （1）试用d，，表示，其中m，n均为正整数； （2）利用（1）的结论求解：“已知=（m≠n），求”； （3）若各项均为正数的等比数列的公比为q，前n项和为，试类比问题（1）的结论，写出一个相应的结论且给出证明，并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列，其中=5，=15，求数列的前50项和．” 考点 等差数列的性质；数列的求和；归纳推理． 解（1）设等差数列的首项是， ∴，， ∴ ； （2）由条件，可得①，②， ①×n②×m得： ， 整理得， 则． （3）类比得到等比数列的结论是：若各项均为正数的等比数列的公比为q，前n项和为，则对任意正整数m、n，都有． 证明如下：不妨设，则 ， ∴． 问题解答如下：由，得， 则， ∴2014届高考信息卷）在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列． （1）求证：是等比数列； （2）设是不超过的正整数，求使成立的所有数对． 【考点】等差等比数列的基本性质；不定方程求整数解； 【解】（1）由，，成等差数列可得，，① 由，，成等差数列可得，， ② ①②得，， 所以是以为首项、为公比的等比数列． ……………………4分 （2）由（1）知，，③ ①②得，， ④ ③④得，， ……………………8分 代入，得， 所以， 整理得，， 所以， ………………………………12分 由是不超过的正整数，可得， 所以或， 当时，，此时，则，符合题意； 当时，，此时，则，符合题意． 故使成立的所有数对为，． …………16分{ }的各项都是正数，且对任意n∈都有，其中为数列{ }的前n项和． ； { }的通项公式； （3），，，试找出所有即在数列{ }中又在数列{ }中的项． ． n＝1，即，所以＝2＝－1＝0． {}的各项都是正数，所以＝2． n＝2，即，解得＝3＝－2＝0{ }的各项都是正数，所以＝3． (1) 所以 (n≥2) (2) 由(1)－(2) = 因为＞0, (3) 所以 (n≥3) (4) 由(3)－(4)，即 (n≥3)， 又，所以 (n≥2)． 所以数列{ }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． 所以． ，所以，,． 不妨设数列{ }中的第n项和数列{ }中的第m项相同，则． ，即． 若，则，所以1≤n≤3， n＝1,，无解； n＝2，即， 所以，m＝1,2,3,4；m5时,令,则＞0f(m)单调增，所以f(m)≥f(5)＝8＞0,无解； n＝3，即， m＝1,2； m＝3； m＝4； m≥5时，． 所以，m＝3，n＝3． 若，即． 。 因此，当时，m＝1或2． 当m＝1＝0 当m＝2, ＝． {}中又在数列{}中的项仅有． (15江阴市高三上学期月考数学试卷）已知数列 {}和{}满足，，{}的前n项和为． （）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{}一定不是等差数列； （） 当时，试判断{}是否为等比数列； （）在（）条件下，若1≤2对任意的n∈N*恒成立，求实数m的范围． 考点 等差数列