212数列性质及递推公式MicrosoftWord文档.docVIP

第二课时　数列的性质和递推公式1.数列的函数性质 (1)数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．．数列可以用图形来表示；数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点；数列的通项公式就是相应函数的解析式(2)在数列{an}中，若an＋1an，则{an}是递增数列；若an＋1an，则{an}为递减数列；若an＋1＝an，则{an}为常数列．如果数列{an}为递增数列，且an＝n2＋λn(nN*)，则实数λ应满足什么条件？ 提示：因为{an}为递增数列，所以an＋1an. 即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn.λ－2n－1.即λ－3，故实数λ－3.an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1an恒成立，则{an}为递减数列．． 2.递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 通过数列的递推公式推导数列通项公式的方法：观察法 累加法 累乘法 由数列的递推公式求通项公式的常用方法有： 1. 观察法 2.(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋ (an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项． 2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，则a3，a4，a5为何值？ 提示：a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2. 1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，nN* B．an＝an－1＋n，nN*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，nN*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，nN*，n≥2 解析：逐项验证可知B选项合适． 答案：B 　已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； [自主解答]　(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16. 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.(2)a1＝1，an＋1＝.(2)∵a1＝1，an＋1＝， a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝，a5＝＝. 它的前5项依次是1，，，，. 它的前5项又可写成，，，，， 故它的一个通项公式为an＝. —————————————————— 根据首项及递推公式写出数列的前几项，然后归纳、猜想其通项公式，是本节课的重点，我们必须熟练地掌握它，其中归纳猜想通项公式是难点，根据数列给出的前几项写出一个通项公式的方法来处理，不同的是在写出前几项时一般不对前几项化简，但有时化简后有利于观察其通项公式，关键是尝试，而没有定法． 3．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于(　　) A. B. C. D. 解析：a1＝1＝， an＋1＝an a2＝＝.同理可求a3＝＝. 因此，猜想an＝. 答案：B 3．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 011的值为(　　) A. B. C. D. 解析：计算得a2＝，a3＝，a4＝，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又因为2 011＝670×3＋1，所以a2 011＝a1＝. 答案：A8．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(nN*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项． 解析：由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项． 答案：6404．已知数列{an}，a1＝1，an＝2an－1－1(n＞1，nN*)，则a99＝________. 解析：an＝2an－1－1，a2＝2×a1－1＝1， a3＝2×a2－1＝1，…，a99＝1. 答案：17．数列{an}中a1＝1，a2＝3，a－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝________. 解析：令n＝2得a－a1·a3＝－1， a3＝10. 令n＝3代入，得a－a2a4＝(－1)2， a4＝33. 答案：33 9．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(