41-2集合的笛卡儿积与二元关系.ppt

第4章 二元关系与函数 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数 4.1 集合的笛卡儿积和二元关系 有序对 笛卡儿积及其性质 二元关系的定义 二元关系的表示 有序对 定义 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对，记作x,y 实例：平面直角坐标系中点的坐标 3,?4 有序对性质 1） 有序性 x,y?y,x （当x? y时） 2）x,y 与 u,v 相等的充分必要条件是 x,y=u,v ? x=u ? y=v 有序 n 元组 定义 一个有序 n (n?3) 元组 x1, x2, …, xn 是一个 有序对，其中第一个元素是一个有序 n-1元组，即 x1, x2, …, xn = x1, x2, …, xn-1, xn 实例 ：空间直角坐标系中的坐标 3，5，－6 n 维向量是有序 n元组. 图书馆记录书类别，书号，书名，作者，出 版社，年份是一个有序六元组. 当 n=1时, x 形式上可以看成有序 1 元组. 笛卡儿积 笛卡儿积的性质 性质的证明 例题 例5 设A、B、C、D为任意集合，判断以下等式是否成立， 说明为什么。 (A?B)?(C ?D)=(A?C)?(B ? D) (A?B)?(C?D)=(A?C)?(B ? D) (A-B)?(C-D)=(A?C)-(B?D) (A?B)?(C?D)=(A?C)?(B?D) 解： (1)成立，因为对任意的x,y x,y? (A?B)?(C ?D) x?A ?B ?y ? C ?D x?A ? x? B ? y ? C ? y ? D x,y? A?C ? x,y? B?D (2)(A?B)?(C ?D)=(A?C)?(B ? D) 解：不成立，若A=D= ? B=C= {1} 则有： (A?B)?(C ?D)= B ? C={1,1} (3)(A-B)?(C-D)=(A?C)-(B?D) 解：不成立， A=B={1} C={2} D={3} (A-B)?(C-D)= ? (A?C)-(B?D) = {1,2} ?{1,3}={1,2} (4)(A?B)?(C?D)=(A?C)?(B?D) 解：A={1} B= ? C= ? D={1} (A?B)?(C?D)={1,1} (A?C)?(B?D)= ? 设A1,A2, … ,An是集合(n≥2),它们的n阶笛卡尔积记作A1?A2 ?… ?An,其中A1?A2 ?… ?An={x1,x2, … ,xn ︱x1?A1, x2 ?A2 , …,xn?An}. 当A1=A2 =…=An时，可将它们的n阶笛卡尔积记作An 例如：A={a,b},则 A3= {a,a,a,a,a,b,a,b,a,a,b,b,b,a,a,b,a,b,b,b,a,b,b,b} 二元关系的定义 从A到B的关系与A上的关系 A上重要关系的实例 A上重要关系的实例（续） 实例 例如 A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则 LA={1,1,1,2,1,3,2,2,2,3,3,3} DA={1,1,1,2,1,3,2,2,3,3} 关系的表示 实例 4.2 关系的运算 基本运算定义 定义域、值域、域 逆、合成、限制、像 基本运算的性质 幂运算 定义 求法 性质 关系的基本运算定义（续） 限制与像 定义 F 在集合A上的限制 F?A = {x,y | xFy ? x?A} A 在F下的像 F[A] = ran(F?A) 实例 R={1,2, 2,3, 1,4, 2,2} R?{1}={1,2,1,4} R[{1}]={2,4} R??=? R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F?A?F, F[A] ?ranF 例.设F={a,{a},{a},{a,{a}}},求F°F、 F?{a}、F[{a}] 解：F°F={a,{a,{a}}} F?{a}={a,{a}} A= {a} F[A] = ran(F?A)=ran{a,{a}}={{a}} 关系基本运算的性质 关系基本运算的性质（续） 关系基本运算的性质（续） A上关系的幂运算 幂的求法 幂的求法（续） 幂的求法（续