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《微积分A 》习题解答 习题10.6(P277) 1．设f (x ) 是周期为2π 的函数，它在[ , ]−π π 上的表达式为 ⎧ 0 2 ≤ x π f (x ) ⎨ x ⎩x ≤2 f (x ) S (x ) S (x[) , ]−π π 上的函数表达式. 记 的傅里叶级数的和函数为 ，写出 在 解：由题意可知： 是由 展开的定义在 S (x ) f (x ) ( , )−∞ +∞ 上的周期为2π 的正弦级数的 和函数，由狄里克雷定理得 在 y S (x[) , ]−π π 上 的图像如图， 在 S (x[) , ]−π π 上的表达式为 =− 1 ⎧−2 x −π −2 ⎪ o 2 π x x ⎪x 2 S (x ) ⎨ 1 2 x ⎪ ⎪ 0 2 ≤ x π ⎩ π x 2 ．设函数 f (x ) f (x ) − −，π x ≤π ，把 展开为以2π 为周期的傅里叶级数，并 4 2 [ , ]−π π 上的收敛情况. 说明级数在 1 π ⎛π x ⎞ π 解：a − dx 0 ∫−π ⎜ ⎟ 4 2π ⎝2 ⎠ 1 π ⎛π x ⎞ a − cos nxdx 0 n ∫−π ⎜ ⎟ π 4 ⎝2 ⎠ n 1 π ⎛π x ⎞ ( 1)− b − sin nxdx n ∫−π ⎜ ⎟ π 4 ⎝2 ⎠ n π ( ∞1)− n 则得 + f( x) ~ ∑ sin nx ，由狄里克雷定理得 4 n 1 n π x ⎧ − − π ( ∞1)− n 4 ⎪2 π π x + ∑ sin nx ⎨ − + + − 4 ( n 0) ( f0) π f π n 1 ⎪ x ± π ⎩ 2