第一讲指数函数试卷.doc

第一讲 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 知识梳理： 根式 1．1、根式的有关概念 次方根的定义：若，则叫做的次方根。 当为奇数时，正数和负数都有次方根。其中正数的次方根依然是正数，负数的次方根依然是负数。 当为偶数时，只有正数才有次方根，且正数的次方根有一正一负两个，这两个次方根互为相反数。 0的任何次方根都是0. 叫做根式，叫做根指数，叫做被开放数。 1.2、开次方和次乘方的混合运算 开方和乘方是互逆运算，如果开发的次数和乘方的次数相同，那么有以下公式： 对先开次方，再乘以次乘方，有公式：。 对进行次乘方，再开次方，有公式： 分数指数幂 2.1、正数的分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂的意义是； 正数的负分数指数幂的意义是； 0的正分数指数幂等于0，,0 负分数指数幂没有意义。 2.2、有理数指数幂的运算性质 ； ； 。 无理指数幂 定义：若是无理数，则称称为无理指数幂。 运算性质：无理指数幂的运算性质类似于有理指数幂的运算性质，即是无理数，有下列性质： ； 。 无理指数幂的近似值：无理指数幂通常用近似逼近的方法将其转化为有理指数幂，用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值不断逼近无理指数幂的准确值。 典例精讲： 例1 求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 分析：依据公式运算即可，但运算时要注意根据指数的奇偶情况。解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） 方法点拨：当为奇数时，；当为偶数时，要注意的奇偶性对式子的影响。 例2 用分数指数幂表示下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 分析：运用分数指数幂的意义。 解：（1）；（2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 方法点拨：分数指数幂的指数在进行约分运算时，要注意底的正负。 例3 求下列各式的值： （1）； （2）。 分析：既含有分数指数幂，又有根式，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，便于运算，如果根式中根指数不同，也应化为分数指数幂的形式。 解：（1）原式=。 （2）原式=。 方法点拨：根式的运算一般化为分数指数幂的形式，由分数指数幂运算公式化简求值。 例4 计算下列各式的值： （1）； （2）； （3）。 分析：利用分数指数幂的运算性质进行计算。根式先化为分数指数幂再计算。 解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=。 规律总结：本例是利用分数指数幂的运算性质进行运算，思路是利用分数指数幂的运算性质进行化简，直至计算出最简结果，这要求同学们一定要在记准、记熟的运算性质的基础上，结合问题灵活地进行运算。 例5 已知，求下列各式的值。 （1）； （2）； （3）。 分析：从已知条件中解出的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。 解：（1）将两边平方，得，即。 （2）将（1）式平方，有，所以。 （3）由于，所以 。 方法点拨：对条件求值问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用整体代换的方法求值。 三、变式训练： 化简下列各式： （1）； （2）；（3）；（4）；（5）;(6)。 把下列各式中的写成分数指数幂的形式。 （1）；（2）；（3）；（4）。 化简求值（式中字母都是正数）： （1）；（2）；（3）； （4）。 4、求值：。 5、化简。 6、（1）已知，求值； （2）已知，，且，求值。 2.1.2指数函数及其性质 一、知识梳理 1、指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为。 指数函数的定义是一种严格的形式定义，也即是说，前的系数必须是1，指数的位置上只能有一个光秃秃的，像，，等都不是指数函数。 2、指数函数的图像和性质 2.1、指数函数的图像和性质 一般地，指数函数的图像和性质如下表所示。 底数 图像 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 2.2、不同底数的指数函数图像的渐进趋势比较 同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图像如图所示。 画出直线与四个指数函数，，，的交点依次为，，，，所以有，因此可得出以下结论： 当时，在轴左侧，的图像比的图像更靠近轴；在轴右侧，的图像比的图像更靠近轴。即底数大于0小于1时，底数越小，图像越靠近坐标轴。 当时，在轴右侧，的图像比的图像更靠近轴；在轴左侧，的图像比的图像更靠近轴，即底数大于1时，底数越大，图像越靠近坐标轴。 2.3、与的图像的关系 当，且时，函数与的图像关于轴对称。 3与指数有关的复合函数的定义域和值域 3.1、含指数函数的复合函数的定义域 （1）由于指数函数的定义域是，所以函数的定义域与的定义域相同。