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赛车过弯模型分析 辽宁省实验中学 高一（1）班 刘晨颖 Contents 问题背景及提出 弯道是每个车手都必须面对的.这种特殊阶段充满了各种变 化的因素，极富风险和挑战，充满了超越对手、超越自我的种种 机遇.相对于直道而言，弯道上困难多.过弯道时，原来领先的车 手可能因弯道而落后，落后的车手可能因弯道而领先.当两辆赛 车性能相同时，赛车手通过弯道 的时间有长有 短，由此，提出 问题：在两辆赛车最大功率相同， 又都是风驰电掣高速运转的情 况下，赛车手如何更快速地驶 过弯道，超越对手？ 解决方案 问题的分析 众所周知，两点间的最短距离就是以这两点为端点的线段的长度，若由此判断过弯的最佳路线，自然是内——内——内.然而，单纯就距离而言，内——内——内的确是最短的路线，但在实际上，赛车在直道行驶的速率大于其在转弯时的速率，所以赛车在转弯前要减速行驶，转弯后要加速行驶，且在不同半径的圆弧车道上行驶的最大速度也不相同，减速的起点和加速的终点亦不相同，行走内——内——内的路线会使得赛车进出弯道的速度落差极大，为了要在这么小的回转半径通过弯道，车速势必要降很多，对于出弯的加速极为不利；外——内——外虽非最短路线，但它却能提供赛车以比较高的速度过弯.因此，如何选择圆弧车道，关键是计算减速过程、转弯过程及加速过程所用的时间之和，再加以比较，赛车运动员要取得好的成绩，应选择行驶时间最短的圆弧车道. 模型假设及符号定义 模型求解 模型求解之赛车作90°转弯 赛车作90°转弯: 赛车作90°转弯时，如图1所示，内—内—内路线与外—内道路线的圆弧半径分别为 和 ，圆弧轨道行驶的最大速度分别为 和 .则： ⑴内道路线与外道路线的比较（见图1） ①赛车沿内—内—内道路线行驶时，由 为匀速过程， 为减速过程； 为沿半径 为 的匀速率圆周运动；由 为加速过 程，因此，由 的时间为： 模型求解之赛车作90°转弯 ②赛车沿外—内路线行驶时，由 为减速的过程；由 为沿半径为 的匀速率圆周运动；由 为加速过程；由 为匀速运动， 为赛车沿内道运动加速至速度为 时的 位置。因此，由 的时间为： 由于 ，所以 可见，沿外—内路线所用的时间较少，应选择外—内道行驶。 模型求解之赛车作90°转弯 ⑵外—内与外—外的比较（见图2） 赛车作90°转弯时，如图2所示，外—内路线与外—外路线的圆弧半径分别为 和 ，沿圆弧轨道行驶的最大速度分别为 和 。则： 如图2所示，将外—内路线 向下平移，使其圆弧的起点 与 外—外路线圆弧的起点 重合。 模型求解之赛车作90°转弯 ①赛车沿外—内路线行驶时， 为减速的过程；由 为沿半径为 的匀速率圆周运动；由 为加速过程；由 为匀速运动.因此，由 所需的时间为： 模型求解之赛车作90°转弯 ②赛车沿外——内——外路线行驶时， 为减速的过程；由 为沿半径为 的匀速率圆周运动；由 为加速过程；由 为匀速运动.因此，由 的时间为： 综上所述，由于 ， ， 所以 因此，沿外——内——外路线行驶的时间较少. 模型求解之赛车作180°转弯 赛车作180°转弯时，如图3所示，内——内——内路线与外——内——外路线的圆弧半径分别为 和 ，沿圆弧轨道行驶的最大速度分别为 和 .则： 模型求解之赛车作180°转弯 ①沿内——内——内路线行驶时，由 为匀速运动，由 为减速的过程，由 为沿半径为 的匀速率圆周运动，由 为加速过程，由 为匀速运动.沿内道行驶由 所需的时间为 而 模型求解之赛车作180°转弯