§4-4矩阵的逆MatrixInversion.docVIP

§ 4-4 矩阵的逆 Matrix Inversion Definition. A matrix A is said to be nonsingular(非奇异) or invertible(可逆的) if there exists a matrix B such AB=BA=E.The matrix B is said to be a multiplicative inverse of A. Definition1：A是数域P上的n阶方阵，如果有P上的矩阵B使得 AB=BA=E 则称A是可逆，而B叫做A的逆矩阵。 A的逆矩阵是由A唯一确定的。 A的逆矩阵记为A-1，问题：方阵A满足什么条件时，存在逆矩阵，如果A可逆，怎么求A-1？ 假设矩阵 A= 有逆矩阵 B= 满足 AB=E： BA=E 必有 ， 考虑由代数余子式Aij组成的矩阵（称为A的伴随矩阵） ， 则满足 如果d=|A|≠0， 定理1：矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化，且 （d=|A|≠0） 如果AB=BA=E，A与B互为逆矩阵， 如果|A|≠0，A可逆，逆矩阵A-1满足|A-1|= d-1 推论：如果A与B可逆，那么与AB也可逆，且 （）-1=， （AB）-1=B-1A-1 利用矩阵的逆求解线性方程组的解： 线性方程组 AX=B 当|A|≠0，存在 A-1 用逆阵A-1，左乘线性方程组 得X= A-1B。 Theorem 2.If A and B are nonsingular n×n matrices, then AB is also nonsingular and （AB）－1＝B－1A－1. Definition. An n×n matrix is said to be singular ( 奇异)if it does not have a multiplicative inverse. 定理2： A是一个s×n矩阵，如果P是s×s可逆矩阵，Q是n×n可逆矩阵，那么 秩（A）=秩（PA）=秩（AQ） 例1：设 ，求A-1。 例2：证明：如果A是n（n1） 阶方阵，那么 证明: 逆矩阵的应用: 解线性方程组: 解矩阵方程: 课堂小结: 逆矩阵的概念,方阵可逆的充要条件,求逆矩阵 作业：P205-19、20-1）2）