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计算机辅助几何设计 厦门大学 曾晓明 教授 1. 课程简介 1.1 CAGD的研究对象与核心问题 图例：工业产品中的解析曲面和自由型曲面 1.2 形状数学描述的发展主线（历史回顾） 1.3 其他一些重要进展与趋向 图例：一个二次B样条曲线图案（细分方法） 图例：自由型曲面（CC细分法） 2.曲线曲面参数表示的基础知识 2.1 曲线和曲面的表示方法 1．显式表示 y=f(x)，z=f(x，y)。 2．隐式表示 f(x,y)=0，f(x,y,z)=0。 3．参数表示 P(t)=[x(t)，y(t)，z(t)]， S(u,v)=[x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)] 3.贝齐尔曲线与曲面 3.1 贝齐尔曲线的定义与性质 n=5 时的Bezier基函数 3.2 贝齐尔曲线的几何作图法 3.3 贝齐尔曲线的合成(拼接) 3.4 贝齐尔曲线的升降阶 3.5 贝齐尔曲面 Bezier曲面及实例 3.6 贝齐尔曲线的合成 4.1 B样条基函数的递推定义及其性质 在区间[a,b]上，取分割 称为节点(knot),B样条基函数定义为： B样条基具有如下性质： 4.2 B样条曲线 B样条曲线的方程定义为： 是控制多边形的顶点 (i=0,1,..,n) 称为k次（k＋1阶)B样条基函数， B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数x 的序列所决定的k次分段多项式，也即为k次（k＋1 阶)多项式样条，因而B样条曲线也是分段多项式曲 线。 4.3 均匀B样条曲线 4.4 非均匀B样条曲线 4.5 B样条曲面 计算机辅助几何设计 中，常常是给出曲线上的一批型值点，希望用B样条来插值这些点，然后求出其他需要的信息点。这首先要求出B样条曲线特征多边形顶点，才能构造曲线，并对曲线进行插值计算。 设已知(n+1)个有序型值点列{Pi}(i=0，1，2，…，n)，求特征多边形顶点位置矢量{Vi}(i=-1，0，1，2，…，n+1)。 从式(4-11)可看出，反算问题也归结为求解下列线性代数方程组的问题 (4-14) 计算机辅助几何设计 要使方程组有唯一解，需要补充两个条件 （1）给出两端点切矢 补充条件为 (4-15) 由4-14和4-15消去V1，Vn-1得 (4-16) (4-17) 计算机辅助几何设计 增加两个方程4-16和4-17与4-11构成三对角线性方程组，可用追赶法求解。 （2）未给出两端点切矢 可采用数值微分方法进行近似计算，根据给出型值点的前面三点（后三点）计算曲线首（末）端点处的一阶导数近似值。一般是利用二次插值（抛物线插值）求导后确定曲线两个端点一阶导数近似值，然后再代入方法1中介绍的给出两端点切矢的方法求解。 计算机辅助几何设计 4.3.5 二次均匀B样条曲线 二次均匀B样条曲线在实际工程设计中也常常用到，高于三次的一般不多用。 1.二次均匀B样条基 利用B样条曲线的定义式及上面的基表达式，我们可以得到二次B样条曲线的表达式 计算机辅助几何设计 二次B样条曲线的表达式为： 计算机辅助几何设计 2.端点性质 以上关系表明，曲线的两端点分别是二次B样条曲线特征多边形两边的中点，并且以两边为其端点切矢。 二次B样条曲线段是抛物线，它的端点具有性质 计算机辅助几何设计 二次均匀B样条曲线的几何特征 图4.15 二次均匀B样条曲线的 计算机辅助几何设计 4.3.6 参数三次曲线段的比较 给定三次参数曲线首末端点及切矢，则曲线可以看成Ferguson曲线，直接利用Ferguson参数曲线的公式即可求出。也可以看成Bezier曲线或B样条曲线，请思考，如何求出相应的控制多边形？ 计算机辅助几何设计 4.4.1 B样条曲线的定义域 由B样条曲线的定义式 可知，由n+1 个控制顶点定义的k次B样条曲线和n+1个基函数Ni,k 有关，这些基函数由节点序列X=