第五章 多项式环与有限域 信息安全数学.pptVIP

5.3 有限域 定义5.3.1　有限个元素构成的域称为有限域或Galois（伽罗瓦）域．域中元素的个数称为有限域的阶． 我们曾指出，当p是素数时，模p剩余类集合 构成p阶有限域GF(p) 并指出这也是最简单的一种有限域． q阶有限域的所有非零元构成q?1阶乘法交换群．在乘法群中，元素a的阶n是使an = 1的最小正整数．a生成一个n阶循环群： { 1，a1，a2，…，an?1}． 有限域 我们将域中非零元素关于乘法群的阶定义为域中非零元素的阶． 由关于群的讨论我们有，n阶有限群的任意元素a均满足an = 1．所以aq?1 = 1． 如果把零元也考虑进来，则q阶有限域的所有元素满足 aq = a，或aq?a = 0． 那么q阶有限域可以看成是方程 xq?x = 0 的根的集合． 有限域 定义5.3.2　q阶有限域中阶为q?1的元素称为本原域元素，简称本原元． 本原元的意义是很明显的．如果q阶有限域中存在本原元a，则所有非零元构成一个由a生成的q?1阶循环群．那么q阶有限域就可以表示为 { 0，1，a1，a2，…，aq?2}． 有限域 定理5.3.1　有限域中一定含有本原元． 实际上，当q?2时，q阶有限域的本原元多于一个．如果a是一个本原元，对于1 ? n ? q?1，只要 (n，q?1) = 1， 由群中的结论，则an的阶也是q?1，即an也是本原元．我们指出，q阶有限域中共有?(q?1)个本原元（?是欧拉函数）． 关于欧拉函数我们将在第六章定理6.1.5介绍 有限域 假设a是域中的一个非零元，使 的最小正整数n是a的加法阶．如果不存在这样的n，则加法阶是无限大． 例5.3.1　GF(7)非零元素的加法阶： 7 7 7 7 7 7 有限域 定理5.3.2 在一个无零因子环R里所有非零元的加法阶都相同．当加法阶有限时，它是一个素数． 证明　如果R的每一个非零元的阶都是无限大，那么定理正确． 如果R的一个非零元a的阶有限，假设为n．设b是另一个非零元，则 (na)b = a(nb) = 0， 由于R无零因子，可得nb = 0．可以断定n是使nb = 0的最小正整数，否则假定m?n使得mb = 0，于是 (mb)a = b(ma) = 0 ? ma = 0， 与n是a的阶矛盾．故n也是b的阶． 有限域 下面证n是一个素数． 假设n不是素数，则 n = n1n2，其中n1，n2 ? n， 显然 n1a ? 0，n2a ? 0， 但是有 (n1a)(n2a) = ((n1n2)a)a = (na)a = 0， 这与R无零因子矛盾，故n是素数． 域的性质 定义5.3.3　域中非零元的加法阶称为环的特征，当加法阶为无限大时，称特征为0． 推论　域的特征或者是0，或者是一个素数．有限域的特征是素数． 例5.3.2　GF(p)的特征为p，因为 我们可以发现一个有趣的现象，GF(p)的特征等于| GF(p)|． 域的性质 定义5.3.4 如果一个域F不再含有真子集作为F的子域，则称F为素域． 定理5.3.3　阶为素数的有限域必为素域． 证明　如果阶为素数q的域F有真子域，那么这个真子域一定是F构成的加法群的真子群，这个子群的阶一定是q的因子．而素数q除1和q外无其他因子，因子1对应{0}这个子群，它不是域；因子q对应F全体．可见F无真子域，F是素域． 域的性质 引理　在特征为p的域中，下列子集 {0，1，1+1，…， } 构成p阶素子域，而且这一素子域与GF(p)同构． 证明　设 S = {0，1，1+1，…， }． 建立S与GF(p)的下列映射 0? ，1? ，1+1? ，…， 很容易看出这是一个同构映射，因此S是一个p阶有限域． 域的性质 定理5.3.4　1）素数p阶域的特征为p． 2）任何素数p阶域与GF(p)同构． 证明　 1）设素数p阶域F的特征为q．则由引理，F含有一个与GF(q)同构的q阶素子域S，而又由定理5.3.3，F是素域，所以F = S，p = q． 2）由1和引理显然． 由于任何素数p阶域都与GF(p)同构，这样我们可以用GF(p)代表任意素数p阶域，并且将GF(p)中的元素简单记为 {0，1，2，…，p?1}． 有限域 定理5.3.5　有限域的阶必为其特征之幂． 一般有限域记为GF(pm)，其中p是域的特征，m是正整数．由于特征总是素数，则有限域的阶总为素数的幂． 有限域的构作 定理5.3.6　如果f(x)是GF(p)上的m次首一不可