插值问题的性态.pptVIP

华长生制作 * 插值问题的性态 代数插值问题本身是一个数值问题，因此它必然有误差积累 问题需要探讨；另一方面，随着插值区间内插值节点的增多，插值多项式也存在着收敛性问题，这两方面的构成了本节的主要内容。 设区间[a,b]是插值区间，插值节点是区间[a,b]的一个划分：a=x0x1……xn=b，对这样一组节点及其上的函数值或导数值，则可以构造Lagrange插值多项式，Newton插值多项式，Hermite插值多项式，分段插值多项式等等。随着插值节点的增多，相应的插值多项式是否会充分接近被插函数f(x)？ 插值函数的收敛性 定义3.1　记关于插值区间上的n个插值节点 a=x0x1……xn=b 上被插函数f(x)的插值多项式为pn(x)，当节点数目从2增多到无穷时，相应地得到一个插值多项式序列： p1(x),p2(x),……,pn(x),…… 如果对任意ε0，存在δ0使得当节点细度hδ时，相应插值多项式pn(x)对区间[a,b]中任何x成立 则称插值多项式序列一致收敛。 等距节点上Lagrange高次插值多项式的收敛性 例题3.1　考虑被插函数 以区间[-1,1]上的n份等距节点及其上的函数值进行Langrange插值，插值多项式是否收敛于f(x)? 等距节点上Lagrange高次插值多项式的收敛性 等距节点上Lagrange高次插值多项式的收敛性 等距节点上Lagrange高次插值多项式的收敛性 等距节点上Lagrange高次插值多项式的收敛性 等距节点上Lagrange高次插值多项式的收敛性 等距节点上高次Lagrange插值多项式在区间端点处有振荡现象，但在区间中间是收敛的。事实上： Runge还证明了 一致成立 等距节点上分段线性插值多项式的收敛性 例题3.2　仍用例题3.1中的被插函数构造等距节点上分段线性插值多项式，这种插值多项式序列是否收敛于f(x)？ 等距节点上分段线性插值多项式的收敛性 等距节点上分段线性插值多项式的收敛性 由此可见分段线性插值有效地克服了Runge现象，依次增大插值节点个数，分段线性插值多项式更接近原函数，这就是收敛现象。事实上从理论上我们可以证明如下极限一致成立： 等距节点上分段三次Hermite插值多项式的收敛性 例题3.3　仍用例题1中的被插函数构造等距节点上分段三次Hermite插值多项式，这种插值多项式序列是否收敛于？ 等距节点上分段三次Hermite插值多项式的收敛性 切比雪夫点上Lagrange插值多项式的收敛性 例题3.4　仍用例题1中的被插函数，但是插值节点选择为区间[-1,1]上的n+1次切比雪夫多项式零点作为插值节点,构造Lagrange插值多项式，这种插值多项式序列是否收敛于f(x)？ 由于n可能较大，所以插值多项式次数仍然较高，但收敛性。。。。。。 * * * * *