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《振动力学》 1 第二章 单自由度系统自由振动 弹簧质量系统的固有振动和自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 有粘性阻尼的自由振动 单自由度系统自由振动 《振动力学》 2 瑞利法 目的：考虑系统中弹性元件的质量所具有的动能 方法：利用动能计算将弹性元件的分布质量等效为集中质量 加在原来惯性元件的集中质量上，作为单自由度系 统处理。 单自由度系统自由振动－瑞利法 概念：为考虑系统中弹性元件的质量所具有的动能，利用 动 能计算将弹性元件的分布质量等效为集中质量加在原 来惯性元件的集中质量上，作为单自由度系统处理， 从而得到更精确的固有频率的近似值。 《振动力学》 3 例如：弹簧质量系统 设弹簧的动能: 系统最大动能： 系统最大势能： 弹簧等效质量 单自由度系统自由振动－瑞利法 因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限. 《振动力学》 4 单自由度系统自由振动－瑞利法   《振动力学》 5 单自由度系统自由振动－瑞利法   《振动力学》 6 单自由度系统自由振动－瑞利法   《振动力学》 7 单自由度系统自由振动－瑞利法   《振动力学》 8 单自由度系统自由振动－瑞利法 例：图为一均质等直简支梁，中央处有一集中质量m,计算考虑梁的质量时系统的固有频率和梁的等效质量。   《振动力学》 9 单自由度系统自由振动－瑞利法   《振动力学》 10 单自由度系统自由振动－瑞利法   《振动力学》 11 单自由度系统自由振动－瑞利法 瑞利法的概念: 在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替分布质量，计算其动能，即 小结： 从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。 《振动力学》 12 教学内容 无阻尼自由振动 能量法 瑞利法 等效质量和等效刚度 阻尼自由振动 等效粘性阻尼 单自由度系统自由振动 《振动力学》 13 等效质量和等效刚度 方法1：能量法 选定广义位移坐标后，将系统的动能、势能写成如下形式： 则可得出： Ke：简化系统的等效刚度； Me：简化系统的等效质量。 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 14 动能 势能 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 15 x 动能 势能 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 16 方法2：定义法 等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量 。 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 17 例：串联系统 总变形： 在质量块m上重力与外力的合力为 P 弹簧1变形： 弹簧2变形： 根据定义： 或 P k1 k2 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 18 例：并联系统 受力不等： 在质量块上施加力 P 由力平衡： 根据定义： 并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。 P k1 k2 k1 k2 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。 《振动力学》 19 例：杠杆系统 杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置： 求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 20 解法1：能量法 动能： 势能： 等效质量： 等效刚度： 固有频率： 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 21 解法2：定义法 设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P 设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P 则在m1、m2上产生惯性力，对支座取矩： 则在k1、k2处将产生弹性恢复力，对支点取矩： 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 22 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 23 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 《振动力学》 24 小结 单自由度系统自由振动－等效质量和等效刚度 选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式： 1）能量法 等效的