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第三章函数逼近与FFT 计算方法 —— 基本概念 本章内容 基本概念 范数、赋范空间、内积、内积空间 权函数、带权内积 最佳一致逼近、最佳平方逼近 正交多项式 最佳平方逼近 曲线拟合的最小二乘法 有理逼近、三角逼近和FFT 能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 p(xi) = yi 函数逼近 问题 已知数据表 x x0 x1 … xn y y0 y1 … yn 函数 f(x) 的表达式非常复杂，能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 p(x) 是 f(x) 的一个合理逼近 上面的数据表中的数值带有误差，能否找到一个简单易算的 p(x) ，可以近似地表示这些数据 问题 问题 预备知识 预备知识 线性空间、线性相关、线性无关 基、维数、有限维空间与无限维空间 常见线性空间：Rn 、Hn、C[a, b]、 Cm[a, b] Weierstrass 定理 设 f(x)?C[a, b] ，则对 ? ? 0，总存在一个多项式 p(x) ，使得 在 [a, b] 上一致成立。 范数 范数与赋范线性空间 设 S 为线性空间，x?S，若存在唯一实数 || · ||，满足 正定性：||x|| ? 0，等号当且仅当 x = 0 时成立 齐次性：||?x|| = |?| · ||x||， ??R 三角不等式：|| x+y || ? || x || + || y || 则称 || · || 为 S 上的范数，(S, || · ||) 称为赋范线性空间 赋范线性空间 赋范线性空间 Rn 线性空间 Rn，x = (x1, x2, ? , xn)T?Rn 1-范数： 2-范数： ?-范数： （最大范数） 赋范线性空间 赋范线性空间 C[a, b] 线性空间 C[a, b] ，f(x)?C[a, b] 1-范数： 2-范数： ?-范数： ，等号当且仅当 u = 0 时成立 内积空间 内积空间 设 X 是数域 K (R 或 C) 上的线性空间，对 ? u, v ?X 有 K 中的一个数 (u, v) 与之对应，且满足 称 (u, v) 为 X 上的内积，定义了内积的线性空间称为内积空间 u, v 正交 (u, v) = 0 内积空间 定理 设 X 是一个内积空间，对 ? u, v ?X 有 Cauchy-Schwarz 不等式 定理 设 X 是 内积空间，u1, u2, ?, un ?X ，定义矩阵 则 G 非奇异当且仅当 u1, u2, ?, un 线性无关。 Gram 矩阵 内积 内积导出范数： 例：Rn 上的内积： 导出的范数为 加权内积 给定正实数 ?1, ?2, ?, ?n, 定义 正实数 ?1, ?2, ?, ?n 称为加权系数 内积 例：Cn 上的内积： 加权内积 ?1, ?2, ?, ?n 为正实数 例： C[a, b] 上的内积： 权函数 权函数 设 ? (x) 是 [a, b] 上的非负函数，满足 ，存在且为有限值 对 [a, b] 上的任意非负连续函数 g(x) ， 则称 ? (x) 是 [a, b] 上一个权函数 [a, b] 可以是无限区间，即 a, b 可以是无穷大 权函数与定义区间有关 若 ， 则 (k = 0, 1, 2, … ) 常见的权函数 常见的权函数 带权内积 带权内积 设 ? (x) 是 [a, b] 上的权函数， f(x), g(x) ? C[a, b] 导出范数 性质 设 ?0, ?1, ?, ?n?C[a, b]，则 ?0, ?1, ?, ?n 线性无关当且仅当 det(G) ? 0，其中 函数逼近 记 Hn 为所有次数不超过 n 的多项式组成的集合，给定函数 f(x)?C[a, b]，若 P*(x)?Hn 使得 则称 P*(x) 为 f(x) 在 C[a, b] 上的 最佳逼近多项式 最佳逼近 取不同的范数，就可以定义不同的最佳逼近方式 函数逼近 最佳平方逼近 最佳一致逼近 曲线拟合 最小二乘拟合 寻找 P*(x) ，使得 给定 f(x)?C[a, b] 的数据表 x x0 x1 … xm y y0 y1 … ym n m