现代分析及其应用课程练习题-2016.pdfVIP

“现代分析引论及其应用”课程练习题 注：期末考试将从练习题中选择 5 题 （90 分），另加讲义中 某个定理的证明(10分)作为试题. 第一章 代数结构基础 练习 1： 设G {1,1}及S 1 {z C | z 1} （C 的复数集合）,关于普通乘法都 分别构成交换群. Z 练习2： 同余等价类构成的群 ，这里 q 是一个大于 1 的整数. 考虑整数的 q 集合 Z. 将 Z 中整数进行分类. 两个整数 a,b 属于同一类当且仅当 a b 能被q 整除，或者a 除以q 得到的余数与b 除以q 得到的余数 相同.用 [a ] 表示整数 a 的同余等价类，定义同余类的加法为 [a][b] [a b] ，则该定义不依赖于同余类代表元的选取，且 Zq {[a ]|a Z } 按照该运算构成一个加法群. Zq 是一个有限群，含有 q 个元素. G G 练习3： 证明定理1.1 设 为群,H 为 的非空子集,则以下三条彼此等价 G (1)H 是 的子群; (2)对a,b H ,有a b H 及a1 H ; （对乘法和求逆运算封闭） (3)对a,b H ,有a1 b H . f :G G H G H G 练习4 ：证明定理1.2 设 1 2 为群同态. 为 的子群， 为 的子群， 1 1 2 2 则 f (H ) G （1） 1 为 的子群； 2 （2） f 1 (H 2 ) 为 G 的子群. 1 练习5： 试证群作用下的两个轨道或者重合，或者不相交. 1 2 T 2 练习6：设M 为平面 上的集合， . 试求一个 R M {(x ,y ) R | |x |1, | y |1} 群作用：GM  M .(要求群G 中的元素个数大于1) 练习7： （1）设群G GL(n, R) ，集合M 为所有的n 阶实矩阵.定义 1 ：GM  M ，(g , A) gAg . 试证 为一个群作用. 并证明同一个轨道中的元素具有相同的秩，相同的  特征值. (2) 设群G GL(n, R) ，集合M 为所有的n 阶实对称矩阵.定义 T ：GM  M ，(g , A) gAg . 试证 为一个群作用. 并证明在该群作用下，轨道的个数是有限的,同时  写出每个轨道中的一个代表元. 练习 8：试从群作用的观点分别刻画映射（函数）f :R 3