线性代数中概念的几何引入.pptVIP

高淑萍 2010.12 教育心理学研究表明： 人获取外界信息中，83%来自视觉，11%来自听觉， 4%来自嗅觉， 1%来自味觉。 主要内容 二元、三元线性方程组的几何意义 二阶、三阶行列式的几何意义 平面上线性变换的几何意义 二阶矩阵特征值的几何意义 向量组的线性相关性的几何意义 二元、三元线性方程组的几何意义 二元一次方程在几何上表示的是一条直线，则含两个二元一次方程的方程组在几何上则表示两条直线的位置关系： 相交====〉有惟一解 平行====〉无解 重合====〉无穷多解 解：用MATLAB解线性方程组 Ax=b 的方法有： 以方程组（1）为例：在MATLAB程序 运行E01.m syms x1 x2 % 定义x1、x2为符号变量 U1=rref([1,2,5;2,-3,-4]) % 增广矩阵变为最简阶梯矩阵 subplot(2,2,1) % 准备画2×2个图形中的第一个 ezplot(x1+2*x2=5) % 绘制直线x1+2*x2=5 hold on % 保留原来图形 ezplot(2*x1-3*x2=-4) % 再绘制直线2*x1-3*x2=-4 title(x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4) % 在图上标注x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4 grid on % 显示网格 绘制图形如图所示： 方程组（1）的解为 ； 方程组（2）的通解为： ； 方程组（3）和方程组（4）这两个方程组无解 . 方程组（1）的两条直线有一个交点，故有唯一解； 方程组（2）的两条直线重合，则有无穷组解； 方程组（3）的两条直线相平行，永远没有交点即 无解； 方程组（4）的三条直线不共点，则也无解。 三个三元一次方程构成的方程组： 若三个平面只有一个交点,则方程组有惟一解; 若三个平面相交于一条直线,则方程组有无穷 多解; 若三个平面没有交点或交线,则方程组无解。 解：用MATLAB的 rref 命令可以解得。 利用MATLAB绘图可得： 图2 三元线性方程组解的几何意义 方程组（1）的解为三个平面的交点，故该方程组有唯一解； 方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性 方程组有无穷多解，解空间是一维的； 方程组（3）的三个平面没有共同的交点，即方程组无解； 方程组（4）也无解。 二阶、三阶行列式的几何意义 二维情形 ： 在平面上有一个平行四边形OACB，A、B两点的坐标分别为： 、 ，如下图所示。 求平行四边形OACB的面积。 分析：过点A做x轴垂线，交x轴于点E；过 点B做平行x轴直线与过点C做平行y轴直线相 交于点D。显然可以得到三角形CDB和三角 形AEO全等，则有： 根据二阶行列式的定义，该平行四边形的面积 刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列式: 一般情况下也可以证明：过原点的两条直线（向量） 所构成的一个平行四边形的面积为A、B两点坐标所构成的二阶行列式的绝对值。 三维情形 已知三个向量 由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为