数学建模-水桶问题 2.docxVIP

水桶问题班级：----教育技术学--------姓名：------------郑林 王伟 吴峰学号：-------------201217040109问题提出：假设有三个木桶，在桶的最底端开有小孔，依次向后面的一个木桶注水注水。其中，第三个木桶没有出水的孔，研究水面高度变化与时间的关系。模型假设：为了使问题尽可能地简化，我们假设三个木桶大小和形状完全相同，设其底面积为A，出水孔的面积是B。并且认为水从管中流出的速度和桶中水面的高度相关，其关系式为v=sqrt(2gh)。最终的结果将是第一级和第二级木桶水全部流出，第三级木桶将被注满或溢出或未被注满。模型分析及数学推导：在各级木桶水的初始高度给定的前提下，对于第一级木桶而言，表征其水面高度的量h1只是时间t 的函数，与其他因素无关。而对于第二级木桶来说，它的水面高度既要受时间的影响，又与第一级木桶水面高度相关，因为当h1取值不同时，由一向二中注水的速度也会不同，因此，h2是时间t 和以及水桶中水高h1两者的函数。同理，我们很容易得到第三级木桶的水高是h1,h2,t共同的函数。下面我们对h1,h2,h3进行严密的数学公式推导。对第一级木桶，-A*dh/dt=B*ds/dt,其中ds是水在dt 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。最终可得：dh1/dt=-B/A*sqrt(2*g*h1)；对第二级木桶，从一级木桶中流出的水全部注入了其中，因而有 dh2/dt-dh1/dt=-B/A*sqrt(2*g*h2)；进一步可转化为 dh2/dt=-B/A*（sqrt(2*g*h1)+ sqrt(2*g*h2)）;对第三级木桶，没有流出的水，只有从二级木桶向其中注入的水，所以有 dh3/dt= dh1/dt-dh2/dt 即h3-H3=h1-H1+h2-H2;程序实现与分析：(1)首先我们假设H3=0,H1=4.9,H2=2.5,在matlab中编写如下程序：首先建立下面的matlab M文件，function dy=rigid(~,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=(-0.001/0.54)*sqrt(2*9.8*y(1)); dy(2)=(-0.001/0.54)*sqrt(2*9.8*y(2))+(0.001/0.54)*sqrt(2*9.8*y(1)); dy(3)=y(1)-y(2)-4.9;做画图程序：[T,Y]=ode45(rigid,[0 1000],[4.9,2.5,0]);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),-,T,Y(:,3),-)得到如下结果：由图像得到的结果与前面的分析完全一致，h1,h2最终趋于零，而h3在不断增大，直到前两级水桶水流光。在这样的条件下，若木桶的高度小于7.4米的话，三级木桶的水就会溢出。(2)我们再假设H2=0，修改程序可得到考察h2的变化，很明显h2先增大，后减小，最终为零。若给H2一个较大的值，H2=4.5，则对比上面的图形，很明显h2几乎是单调递减的，这是因为H2较大，水流流出初速大。问题拓展：此时我们不妨假设第三级木桶也有开口，来研究各级木桶水面高度的变化，此时的程序：function dy=rigid(~,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=(-0.001/0.54)*sqrt(2*9.8*y(1)); dy(2)=(-0.001/0.54)*sqrt(2*9.8*y(2))+(0.001/0.54)*sqrt(2*9.8*y(1)); dy(3)=(0.001/0.54)*sqrt(2*9.8*y(2))-(0.001/0.54)*sqrt(2*9.8*y(3));[T,Y]=ode45(rigid,[0 1000],[4.9,2.5,0]);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),-,T,Y(:,3),-)其中的初始条件是H1=4.9,H2=2.5,H3=0; 结果，从这张图像中，我们可以看到两个重要的现象：每个木桶都有开口，最终各级木桶水高均为零；对比三条曲线的斜率的绝对值，有|k1||k2||k3|。这是因为在这一过程中始终有h1h2h3,流水速度与高度的1/2次方成正比。我们不妨在令H1H2H3，看是否能得到相反的结果，这次斜率的差距没有那么明显，这是因为，二级和三级水桶会不断有新水补充，因而水面高度减小慢，导致斜率差距不大。模型评价与总结：通过数学建模，我们将一个稍为复杂的物理问题转化为数学问题，通过图像，我们可以非常直观的得出简洁而又准确的结论，数学建模时帮着我们认识这个世界的强大工具。